PDF-версии: 
Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.
а) Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.
б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где
Решение. а) Поскольку основания трапеции AD и BC параллельны, а её высота
то 
а значит, вписанный угол KBC, равны 90°, опирается на диаметр CK, на который опирается и вписанный угол CAK . Поэтому 
б) Вписанные углы CKB и CAB опираются на одну дугу, а следовательно, равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике KBC катет BC лежит напротив угла 30°, а значит, равен половине гипотенузы CK, то есть 
а катет
В треугольниках KBC и KHN угол K общий, а углы KHN и KBC прямые, и, значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому
Следовательно, 
то есть 
а значит, 
Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому высота BH делит большее основание AD на отрезки 
и 
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, получим 
откуда
Тогда 
поэтому 
то есть 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
а площадь четырёхугольника BCNH в 
а катет 
то есть 
а значит, 
и 
поэтому 
то есть 
тогда 
Углы 
и
вертикальные и равны, тогда 
и 
Тогда 
Таким образом, треугольники ABM и BCN равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, BM = BN.
Пусть 
тогда 
Пусть 
тогда 
так как треугольники MAB и NBC равны. Таким образом, 
и 
Так как 
то 
следовательно, 
и 
Таким образом, треугольники ABM и BCN равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, BM = BN.
Таким образом, 
Таким образом, треугольники HMN и CAB подобны по двум углам. Это и требовалось доказать.
Тогда треугольники CMH и BNH подобны по двум углам, причем из пункта а) следует, что
а тогда 
а тогда 
и 
а также зная 
и 
можно заметить, что 
Из этого следует, что прямая AB не является касательной к окружности (иначе бы равенство было верным), а потому прямая АВ помимо точки H имеет с окружностью еще одну точку, лежащую на отрезке АB. 
Имеем:
откуда 
Окружность, описанная вокруг треугольника TCP, также описана вокруг четырёхугольника TACP, а угол ATC — прямой и вписанный в эту окружность. Следовательно, он опирается на диаметр AC, равный 7, по условию. Тогда 
а это средняя линия в треугольнике MDN. Таким образом, 
и 
Окончательно получаем:
и 
Окончательно получаем:
отсюда OCMD — вписанный.
тогда 
Увидим, что 
так как опирается на хорду DM. Треугольник COD — равнобедренный и 
как радиусы, следовательно, 
Тогда 
Эти углы являются накрестлежащими, следовательно, отрезок OM параллелен отрезку AB. Точка O является серединой AC. Значит, OM — средняя линия треугольника ABC, следовательно, 
