СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 517472

Каждый из 32 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S < 14.

б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 11?

в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 11?

Решение.

а) Например, если 28 студентов писали обе контрольные работы и получили по 15 баллов за каждую, 2 студента писали первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 2 студента писали вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 14, а

б) Пусть a — сумма баллов всех студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы, c — сумма наименьших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы. Поскольку средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 14, средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 14. Всего было написано 34 контрольные работы. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно Тогда получаем: откуда Но сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40. Значит, такая ситуация невозможна.

в) Пусть k — количество студентов, писавших обе контрольные работы. Тогда получаем:

откуда С другой стороны, , поэтому

Приведём пример, когда Если (например, 16 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов за каждую), а (например, по 8 студентов писали каждую из контрольных работ и получили по 2 балла), то условия задачи выполнены.

 

Ответ: а) например, если 28 студентов писали обе контрольные и получили по 15 баллов за каждую, по 2 студента писали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов за каждую; б) нет; в) 16.


Аналоги к заданию № 517465: 517519 517472 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 402 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки