Ре­ше­ние. а)  За­ду­ман­ные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают тре­бу­е­мый набор, за­пи­сан­ный на доске. (Или числа 2, 4, 4, или 2, 2, 2, 4.)

б)  По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные, то наи­мень­шее число в на­бо­ре  — это наи­мень­шее из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. Среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­на быть сумма всех чисел, кроме наи­мень­ше­го, то есть 22 − 1  =  21. Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го на доске будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в)  Число 7  — наи­мень­шее число в на­бо­ре  — яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. По­это­му ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел не пре­вос­хо­дит целой части  , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 мень­ше, чем сумма двух чисел 7, по­это­му они также яв­ля­ют­ся за­ду­ман­ны­ми. Зна­чит, сумма остав­ших­ся за­ду­ман­ных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10  =  16. Таким об­ра­зом, по­сколь­ку наи­мень­шее за­ду­ман­ное число равно 7, остав­ши­е­ся за­ду­ман­ные числа  — это 8 и 8 или 16. Для за­ду­ман­ных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет за­пи­сан набор, дан­ный в усло­вии.

Ответ: а)  2, 2, 2, 2, 2 (или 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4); б)  нет; в)  7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

Ре­ше­ние. Пусть в пер­вый день На­та­ша и Маша сде­ла­ли n и m фо­то­гра­фий со­от­вет­ствен­но, всего они де­ла­ли сним­ки в те­че­ние k дней. По­сколь­ку На­та­ша сде­ла­ла на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша, по­лу­ча­ем:

а)  Если то есть в пер­вый день На­та­ша сде­ла­ла на 143 фо­то­гра­фии боль­ше, чем Маша, то Зна­чит, На­та­ша могла за семь дней сде­лать на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша.

б)  По­сколь­ку 1001 крат­но k, но 1001 на 8 без остат­ка не де­лит­ся. Таким об­ра­зом, за во­семь дней На­та­ша не сде­ла­ла бы на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша.

в)  В по­след­ний день Маша сде­ла­ла мень­ше 40 фо­то­гра­фий, то есть от­ку­да По­сколь­ку k яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 1001 и либо либо либо

По­сколь­ку ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий На­та­ши от­ли­ча­ет­ся от Ма­ши­ных на кон­стан­ту, будем мак­си­ми­зи­ро­вать ко­ли­че­ство сним­ков Маши.

Если от­ку­да наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние Най­дем общее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий:

Если от­ку­да наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние Най­дем общее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий:

Если от­ку­да наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние Най­дем общее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий, сде­лан­ных Машей, равно 429, а На­та­шей  — 429 + 1001  =  1430.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1430.

Ре­ше­ние. а)  По­смот­рим на сумму не­сколь­ких зелёных чисел. По­сколь­ку сумма будет ми­ни­маль­ной тогда, когда числа ми­ни­маль­ны, они долж­ны со­став­лять ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, с пер­вым чле­ном и раз­но­стью (то есть ряд 5, 10, 15 ... ). В слу­чае, если на доске за­пи­са­но 30 зе­ле­ных чисел их сумма равна:

Те­перь за­ме­ним зе­ле­ное число 40 на крас­ное число 35. Сумма 29 остав­ших­ся зелёных чисел и крас­но­го числа 35 будет равна

При этом на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 5 числа.

б)  Как было по­ка­за­но в в пунк­те а) ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 30 зе­ле­ных чисел  — 2325. Чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных чисел, вы­чтем из суммы 30 чисел самое боль­шое из на­пи­сан­ных  — 150:

Те­перь, чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел, при­ба­вим наи­мень­шее крас­ное число, то есть 7:

Ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел боль­ше 1467, тогда любая сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел боль­ше 1467. Зна­чит, если на доске на­пи­са­но толь­ко одно крас­ное число, сумма чисел не может быть равна 1467.

в)  Пусть n - число крас­ных чисел, тогда число зелёных со­ста­вит (30-n). Как было по­ка­за­но выше, при одном, самом ма­лень­ком, крас­ном числе сумма всех чисел боль­ше, чем 1467. Это озна­ча­ет, что нам не­об­хо­ди­мо за­ме­нять зе­ле­ные числа на крас­ные, при­чем, по­сколь­ку нам надо, чтобы крас­ных чисел было ми­ни­маль­ное число, то не­об­хо­ди­мо за­ме­нить ми­ни­маль­ное воз­мож­ное ко­ли­че­ство зе­ле­ных чисел, то есть наи­боль­шие зе­ле­ные числа за­ме­нять на наи­мень­шие крас­ные. Тогда суммы крас­ных и зелёных чисел, ана­ло­гич­но с преды­ду­щи­ми пунк­та­ми будут сум­ма­ми ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий:

Сумма всех чисел S долж­на быть по край­ней мере мень­ше или равна 1467, тогда:

Зна­чит, не­об­хо­ди­мо за­ме­нить не менее 10 зе­ле­ных чисел. В ряду из 30 зелёных чисел за­ме­ним зе­ле­ные числа на крас­ные: 150 на 7, 145 на 14, 140, на 21, 135 на 28, 130 на 35, 125 на 42, 120 на 49, 115 на 56, 110 на 63. Таким об­ра­зом, сумма чисел, за­пи­сан­ных на доске, со­ста­вит:

За­ме­ним те­перь 80 на 77:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ет­ся, что наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел при сумме всех чисел 1467 равно 10.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  10.

Ре­ше­ние. а)  Пусть на доске за­пи­са­но 30 зе­ле­ных чисел, тогда по­след­нее число можно найти по фор­му­ле:

Тогда сумма всех зе­ле­ных чисел со­ста­вит 1395.

Те­перь за­ме­ним зе­ле­ное число 27 на крас­ное число 24, тогда сумма чисел на­пи­сан­ных на доске будет равна

При этом на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 3 числа.

б)  Ясно, что сумма 30 зелёных чисел, при­ведённая в пунк­те а), ми­ни­маль­на, по­сколь­ку ми­ни­маль­но зна­че­ние (при боль­ших зна­че­ни­ях сумма будет воз­рас­тать). Чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных чисел, вы­чтем из ми­ни­маль­но воз­мож­ной суммы 30 зелёных чисел самое боль­шое  — по­след­нее число, рав­ное 90:

Те­перь, чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел, при­ба­вим к ми­ни­маль­но воз­мож­ной сумме 29 зелёных чисел ми­ни­маль­но воз­мож­ное крас­ное число, то есть число 8:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел а это озна­ча­ет, что, если на доске на­пи­са­но толь­ко 1 крас­ное число, то сумма чисел не может быть равна 1066.

в)  Пусть n - число крас­ных чисел, тогда число зелёных со­ста­вит (30-n). Суммы крас­ных и зелёных чисел, по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии будут со­став­лять:

и

Сумма всех чисел S_o долж­на быть по край­ней мере мень­ше или равна 1066, тогда

Зна­чит, не­об­хо­ди­мо за­ме­нить не менее 7 зе­ле­ных чисел. В ряду из 30 зелёных чисел за­ме­ним зе­ле­ные числа на крас­ные: 90 на 8, 87 на 16, 84, на 24, 81 на 32, 78 на 40, 75 на 48. Таким об­ра­зом, сумма за­пи­сан­ных на доске чисел со­ста­вит:

Те­перь за­ме­ним еще 66 на 64, по­лу­чим:

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел равно 7.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  7.

Ре­ше­ние. а)  Пусть на доске на­пи­са­но число 250 и 99 дру­гих раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма чисел на доске до­сти­га­ет­ся при усло­вии, что сумма 99 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел ми­ни­маль­на. А это, в свою оче­редь, воз­мож­но, если 99 раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа - ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Сумма этих чисел, по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­ста­вит:

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Не труд­но за­ме­тить, что по­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5100, а это зна­чит, что и любая сумма 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых есть 250, боль­ше 5100, сле­до­ва­тель­но, числа 250 на доске быть не может.

б)  Пусть на доске не за­пи­са­но число 11. В таком слу­чае, ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма S чисел на доске будет со­сто­ять из двух сумм ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий: суммы пер­вых 10 чле­нов про­грес­сии с пер­вым чле­ном раз­но­стью (то есть ряда 1,2,3,..10) и суммы пер­вых 90 чле­нов про­грес­сии с пер­вым чле­ном раз­но­стью (то есть ряда 12,13,14,..101). Най­дем эту сумму:

Не труд­но за­ме­тить, что по­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5100, а это зна­чит, что и любая сумма 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет 11, боль­ше 5100, сле­до­ва­тель­но, без числа 11 на доске обой­тись нель­зя.

в)  До­пу­стим, что на доске вы­пи­са­ны все числа от 1 до 100. Тогда по­лу­ча­ет­ся, что по­лу­чен­ный ряд со­став­ля­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном раз­но­стью По фор­му­ле для суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии най­дем сумму всех чисел на доске

По­лу­чен­ная сумма не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Те­перь, чтобы уве­ли­чить сумму всех чисел, на­пи­сан­ных на доске до обо­зна­чен­ной в усло­вии, по­про­бу­ем за­ме­нить числа, крат­ные 11 на дру­гие числа, сле­ду­ю­щие за сот­ней: 77 за­ме­ним на 103, 88 на 102, а 99 на 101. По­лу­чен­ная сумма S будет равна:

Под­пра­вим сумму S: за­ме­ним число 101 на число 109, окон­ча­тель­но по­лу­чим:

При даль­ней­шей за­ме­не чисел, крат­ных 11 на числа, боль­шие 100, сумма будет уве­ли­чи­вать­ся и не со­от­вет­ство­вать усло­вию за­да­чи. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 11 равно 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та в).

При­ве­дем при­мер, когда на доске на­пи­са­но шесть чисел, крат­ных 11 (11, 22, 33, 44, 55, 66):

До­ка­жем, что на доске не может быть мень­ше шести чисел, де­ля­щих­ся на 11 без остат­ка. Чтобы убрать мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 11, не­об­хо­ди­мо, чтобы раз­но­сти между но­вы­ми и ста­ры­ми чис­ла­ми были ми­ни­маль­ны. То есть за­ме­нять надо наи­боль­шие числа, крат­ные 11, на наи­мень­шие воз­мож­ные числа, боль­шие ста. Пусть ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 11, равно 5. Тогда ми­ни­маль­ная сумма за­пи­сан­ных на доске чисел равна:

По­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5100. При даль­ней­шей за­ме­не чисел, крат­ных 11, на числа, боль­шие 100, сумма будет уве­ли­чи­вать­ся, зна­чит, на доске не может быть мень­ше шести чисел, крат­ных 11.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  6.

Ре­ше­ние. а)  Пусть на доске на­пи­са­но число 230 и 99 дру­гих раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма чисел на доске до­сти­га­ет­ся при усло­вии, что сумма 99 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел ми­ни­маль­на. А это, в свою оче­редь, воз­мож­но, если 99 раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа  — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Сумма этих чисел, по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­ста­вит:

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Не­труд­но за­ме­тить, что по­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5120, а это зна­чит, что и любая сумма 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых есть 230, боль­ше 5120, сле­до­ва­тель­но, числа 230 на доске быть не может.

б)  Пусть на доске не за­пи­са­но число 14. В таком слу­чае, ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма S чисел на доске будет со­сто­ять из двух сумм ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий: суммы пер­вых 13 чле­нов про­грес­сии с пер­вым чле­ном раз­но­стью (то есть ряда 1, 2, 3, ... 13) и суммы пер­вых 87 чле­нов про­грес­сии с пер­вым чле­ном раз­но­стью (то есть ряда 15,16,17,..101). Най­дем эту сумму:

Не­труд­но за­ме­тить, что по­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5120, а это зна­чит, что и любая сумма 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет 14, боль­ше 5120, сле­до­ва­тель­но, без числа 14 на доске обой­тись нель­зя.

в)  До­пу­стим, что на доске вы­пи­са­ны все числа от 1 до 100. Тогда по­лу­ча­ет­ся, что по­лу­чен­ный ряд со­став­ля­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном раз­но­стью По фор­му­ле для суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии най­дем сумму всех чисел на доске:

По­лу­чен­ная сумма не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Те­перь, чтобы уве­ли­чить сумму всех чисел, на­пи­сан­ных на доске до обо­зна­чен­ной в усло­вии, по­про­бу­ем за­ме­нить числа, крат­ные 14, на дру­гие числа, сле­ду­ю­щие за сот­ней: 70 за­ме­ним на 110, 84  — на 104, а 98  — на 108. По­лу­чен­ная сумма S будет равна:

При даль­ней­шей за­ме­не чисел, крат­ных 14 на числа, боль­шие 100, сумма будет уве­ли­чи­вать­ся и не со­от­вет­ство­вать усло­вию за­да­чи. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, равно 4.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та в).

При­ве­дем при­мер, когда на доске на­пи­са­но че­ты­ре числа, крат­ных 14 (14, 28, 42, 56):

До­ка­жем, что не может быть трех чисел, крат­ных 14. Чтобы убрать мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, не­об­хо­ди­мо, чтобы раз­но­сти между но­вы­ми и ста­ры­ми чис­ла­ми были ми­ни­маль­ны­ми. То есть за­ме­нять надо наи­боль­шие числа, крат­ные 14, на наи­мень­шие воз­мож­ные, боль­шие ста числа. Пусть ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, равно 3. Тогда ми­ни­маль­ная сумма за­пи­сан­ных на доске чисел равна:

По­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5120. При даль­ней­шей за­ме­не чисел, крат­ных 14, на числа, боль­шие 100, сумма будет уве­ли­чи­вать­ся, зна­чит, на доске не может быть мень­ше че­ты­рех чисел, крат­ных 14.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  4.

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер:

б)  Пусть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7. Тогда на доске на­пи­са­но 28 чет­ных чисел. Их сумма не мень­ше, чем:

Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 810, то есть на доске не может быть двух чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7.

в)  За­ме­тим, что число 810 крат­но 2, сумма чет­ных чисел крат­на двум, тогда и сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, тоже крат­на двум. Чтобы сумма не­чет­ных чисел де­ли­лась на два, сла­га­е­мых долж­но быть чет­ное ко­ли­че­ство. В пунк­те б) по­ка­за­но, что на доске не может быть два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, тогда наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство таких чисел  — 4.

При­ве­дем при­мер, когда на доске на­пи­са­но че­ты­ре числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7:

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  4.

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер:

б)  Пусть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9, сумма двух не­чет­ных чисел четна, тогда сумма всех чисел, на­пи­сан­ных на доске де­лит­ся на два, но 877 не крат­но 2  — про­ти­во­ре­чие. Таким об­ра­зом, на доске не может быть ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9.

в)  Все числа на­пи­сан­ные на доске чет­ны­ми быть не могут. Пусть на доске на­пи­са­но одно число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 9, и 29 чет­ных чисел. Сумма всех чисел не мень­ше суммы:

В пунк­те б) по­ка­за­но, что на доске не может быть два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9, тогда их ко­ли­че­ство не мень­ше 3. В пунк­те а) при­ве­ден при­мер, когда на доске на­пи­са­но три таких числа, зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9 чисел  —  3.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  3.

Ре­ше­ние. а)  Если на доске на­пи­са­но по 15 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3 и на 7, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма 2502.

б)  Пусть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3. Тогда на доске на­пи­са­но 28 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7. Их сумма не мень­ше, чем сумма 28 на­пи­сан­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7: Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 2502.

в)  Пусть на доске n чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3 и 30 − n, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7. Тогда сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, не мень­ше суммы

Сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3, не мень­ше суммы

Таким об­ра­зом, от­ку­да так как

Если на доске 11 чисел, окан­чи­ва­ю­ща­я­ся на 3, и 19 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 6. Зна­чит, чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3, боль­ше 11. При­ведём при­мер 12 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3, и 18 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, с сум­мой 2502: 3, 13, ..., 83, 93, 103, 263, 7, 17, ..., 167, 177.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 12.

Ре­ше­ние. а)  Для чисел 2, 3, 3, 5 на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

б)  Среди за­ду­ман­ных чисел есть число 7, по­сколь­ку иначе оно бы не было за­пи­са­но на доску. По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные, наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это про­из­ве­де­ние всех за­ду­ман­ных чисел. Зна­чит, среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­но быть про­из­ве­де­ние всех чисел, кроме 7, то есть 945 : 7  =  135. Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в)  Наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это про­из­ве­де­ние всех за­ду­ман­ных чисел. Число 82 рас­кла­ды­ва­ет­ся на про­стые мно­жи­те­ли как 2 · 41. Зна­чит, было за­ду­ма­но либо число 82 и пять еди­ниц, либо пара чисел 2 и 41 и че­ты­ре еди­ни­цы.

Ответ: а)  2, 3, 3, 5; б)  нет; в)  1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов за каж­дую, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, то сред­ний балл по каж­дой из кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти со­ста­вил 15, а

б)  По­сколь­ку сред­ние баллы по каж­дой кон­троль­ной в от­дель­но­сти равны 15, сред­ний балл по обеим кон­троль­ным ра­бо­там тоже равен 15. Всего было на­пи­са­но 28 + 2  =  30 кон­троль­ных работ. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство на­бран­ных сту­ден­та­ми бал­лов равно При этом сумма наи­выс­ших бал­лов равна 13 · 28  =  364. Сле­до­ва­тель­но, сумма наи­мень­ших бал­лов, на­бран­ных двумя сту­ден­та­ми, пи­сав­ши­ми обе ра­бо­ты, равна 450 − 364  =  86. Но сумма наи­мень­ших бал­лов двух сту­ден­тов не может пре­вос­хо­дить 40. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Пусть k  — ко­ли­че­ство сту­ден­тов, пи­сав­ших обе кон­троль­ные ра­бо­ты, a  — сумма бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли толь­ко одну кон­троль­ную ра­бо­ту, b  — сумма наи­боль­ших бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, c  — сумма наи­мень­ших бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты.

Тогда сумма всех на­бран­ных бал­лов: сумма наи­выс­ших бал­лов Тогда С дру­гой сто­ро­ны, по­это­му от­ку­да

При­ведём при­мер, когда то есть если На­при­мер, 11 сту­ден­тов на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты на 20  бал­лов, один сту­дент на­пи­сал обе кон­троль­ные, по­лу­чив за первую 20  бал­лов, а за вто­рую 16  бал­лов, 8 сту­ден­тов пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную, при­чем 3 из них на­пи­са­ли ее на 20  бал­лов, а 5 из них  — на 0  бал­лов, и 8 сту­ден­тов пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную, каж­дый на 8  бал­лов. Тогда обе кон­троль­ные пи­са­ли по 20  сту­ден­тов, на­брав за первую 3 · 20 + 12 · 20  =  300 бал­лов и за вто­рую 8 · 8 + 11 · 20 + 16  =  300 бал­лов.

Ответ: а)  на­при­мер, если 20 сту­ден­тов на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов, а по 4 сту­ден­та на­пи­са­ли толь­ко одну из двух кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов; б)  нет; в)  12.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов за каж­дую, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, то сред­ний балл по каж­дой из кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти со­ста­вил 15, а

б)  Пусть а  — сумма бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли толь­ко одну кон­троль­ную ра­бо­ту, b  — сумма наи­боль­ших бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, с  — сумма наи­мень­ших бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За­ме­тим, что сред­ние баллы по каж­дой кон­троль­ной в от­дель­но­сти равны 15, по­это­му сред­ний балл по обеим кон­троль­ным также равен 15. Всего было на­пи­са­но 28 + k кон­троль­ных работ. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство на­бран­ных сту­ден­та­ми бал­лов равно Тогда по­лу­ча­ем: от­ку­да С дру­гой сто­ро­ны, от­ку­да по­лу­ча­ем Зна­чит, такая си­ту­а­ция не­воз­мож­на.

в)  Ана­ло­гич­но преды­ду­щем пунк­ту по­лу­ча­ем: от­ку­да

При­ведём при­мер, когда Если (то есть 10 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 20 бал­лов за каж­дую), а (на­при­мер, каж­дую кон­троль­ную ра­бо­ту пи­са­ли по 9 сту­ден­тов, из ко­то­рых чет­ве­ро по­лу­чи­ли по 10 бал­лов, а пя­те­ро  — по 9 бал­лов), то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны и

Ответ: а)  на­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов, а 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко одну из двух кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов; б)  нет; в)  

Ре­ше­ние. а)  Если на доске на­пи­са­но по 15 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2 и на 6, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма 2454.

б)  Пусть на доске ровно одно число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 6. Тогда на доске на­пи­са­но 29 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2. Их сумма не мень­ше, чем сумма 29 на­пи­сан­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2: Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 2454.

в)  Пусть на доске n чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, и 30 − n, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2. Тогда сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, не мень­ше суммы

Сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, не мень­ше суммы

Таким об­ра­зом, от­ку­да по­сколь­ку

Если на доске 10 чисел, окан­чи­ва­ю­ща­я­ся на 6, и 20 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Зна­чит, чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, боль­ше 10. При­ведём при­мер 11 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, и 19 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, с сум­мой 2454: 6, 16, ..., 86, 96, 196, 2, 12, ..., 172, 182.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  11.

Ре­ше­ние. а)  Если на доске на­пи­са­но по 15 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4 и на 8, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма 2786.

б)  Пусть на доске ровно че­ты­ре числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8. Тогда на доске на­пи­са­но 26 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4. Их сумма не мень­ше, чем сумма 26 на­пи­сан­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4: Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 2786.

в)  Пусть на доске n чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8 и 30 − n, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4. Тогда сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4, не мень­ше суммы

Сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, не мень­ше суммы

Таким об­ра­зом, от­ку­да так как

Если на доске 8 чисел, окан­чи­ва­ю­ща­я­ся на 8, и 22 числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 2. Зна­чит, чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, боль­ше 8. При­ведём при­мер 9 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, и 21 число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 4, с сум­мой 2786: 8, 18, ..., 68, 78, 258, 4, 14, ..., 194, 204.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов за каж­дую, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, то сред­ний балл по каж­дой из кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти со­ста­вил 15, а

б)  По­сколь­ку сред­ние баллы по каж­дой кон­троль­ной в от­дель­но­сти равны 15, сред­ний балл по обеим кон­троль­ным ра­бо­там тоже равен 15. Всего было на­пи­са­но 28 + 2  =  30 кон­троль­ных работ. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство на­бран­ных сту­ден­та­ми бал­лов равно При этом сумма наи­выс­ших бал­лов равна 13 · 28  =  364. Сле­до­ва­тель­но, сумма наи­мень­ших бал­лов, на­бран­ных двумя сту­ден­та­ми, пи­сав­ши­ми обе ра­бо­ты, равна 450 − 364  =  86. Но сумма наи­мень­ших бал­лов двух сту­ден­тов не может пре­вос­хо­дить 40. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Пусть k  — ко­ли­че­ство сту­ден­тов, пи­сав­ших обе кон­троль­ные ра­бо­ты, a  — сумма бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли толь­ко одну кон­троль­ную ра­бо­ту, b  — сумма наи­боль­ших бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, c  — сумма наи­мень­ших бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты.

Тогда сумма всех на­бран­ных бал­лов: сумма наи­выс­ших бал­лов Тогда С дру­гой сто­ро­ны, по­это­му от­ку­да

При­ведём при­мер, когда то есть если На­при­мер, 11 сту­ден­тов на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты на 20  бал­лов, один сту­дент на­пи­сал обе кон­троль­ные, по­лу­чив за первую 20  бал­лов, а за вто­рую 16  бал­лов, 8 сту­ден­тов пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную, при­чем 3 из них на­пи­са­ли ее на 20  бал­лов, а 5 из них  — на 0  бал­лов, и 8 сту­ден­тов пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную, каж­дый на 8  бал­лов. Тогда обе кон­троль­ные пи­са­ли по 20  сту­ден­тов, на­брав за первую 3 · 20 + 12 · 20  =  300 бал­лов и за вто­рую 8 · 8 + 11 · 20 + 16  =  300 бал­лов.

Ответ: а)  на­при­мер, если 20 сту­ден­тов на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов, а по 4 сту­ден­та на­пи­са­ли толь­ко одну из двух кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов; б)  нет; в)  12.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, если 28 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 15 бал­лов за каж­дую, 2 сту­ден­та пи­са­ли первую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, 2 сту­ден­та пи­са­ли вто­рую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, то сред­ний балл по каж­дой из кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти со­ста­вил 14, а

б)  Пусть a  — сумма бал­лов всех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли толь­ко одну кон­троль­ную ра­бо­ту, b  — сумма наи­боль­ших бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, c  — сумма наи­мень­ших бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты. По­сколь­ку сред­ние баллы по каж­дой кон­троль­ной в от­дель­но­сти равны 14, сред­ний балл по обеим кон­троль­ным ра­бо­там тоже равен 14. Всего было на­пи­са­но 34 кон­троль­ные ра­бо­ты. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство на­бран­ных сту­ден­та­ми бал­лов равно Тогда по­лу­ча­ем: от­ку­да Но сумма наи­мень­ших бал­лов двух сту­ден­тов не может пре­вос­хо­дить 40. Зна­чит, такая си­ту­а­ция не­воз­мож­на.

в)  Пусть k  — ко­ли­че­ство сту­ден­тов, пи­сав­ших обе кон­троль­ные ра­бо­ты. Тогда по­лу­ча­ем:

от­ку­да С дру­гой сто­ро­ны, по­это­му

При­ведём при­мер, когда Если (на­при­мер, 16 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 20 бал­лов за каж­дую), а (на­при­мер, по 8 сту­ден­тов пи­са­ли каж­дую из кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 2 балла), то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны.

Ответ: а) на­при­мер, если 28 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные и по­лу­чи­ли по 15 бал­лов за каж­дую, по 2 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко одну из двух кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов за каж­дую; б) нет; в) 16.

Ре­ше­ние. а)  Для чисел 2, 3, 5, 5 на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б)  Среди за­ду­ман­ных чисел есть число 11, по­сколь­ку иначе оно бы не было за­пи­са­но на доску. По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные, наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это про­из­ве­де­ние всех за­ду­ман­ных чисел. Зна­чит, среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­но быть про­из­ве­де­ние всех чисел, кроме 11, то есть 550 : 11  =  50. Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в)  Наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это про­из­ве­де­ние всех за­ду­ман­ных чисел. Число 91 рас­кла­ды­ва­ет­ся на про­стые мно­жи­те­ли как 7 · 13. Зна­чит, было за­ду­ма­но либо число 91 и че­ты­ре еди­ни­цы, либо пара чисел 7 и 13 и три еди­ни­цы.

Ответ: а)  2, 3, 5, 5; б)  нет; в)  1, 1, 1, 1, 91 или 1, 1, 1, 7, 13.

Ре­ше­ние. a)  Пусть на­чаль­ные числа: a, b, c, d и e, тогда

По­сколь­ку ра­вен­ство

Ра­вен­ство верно. По­это­му ис­ко­мы­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 1, 3, 8, 11, 2.

б)  Ра­вен­ство

при­во­дит к ра­вен­ству что не­воз­мож­но для на­ту­раль­ных сла­га­е­мых.

Вывод: нет.

в)  Пусть число A в k раз боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го. Тогда

что не­воз­мож­но при При­мер для k  =  2: 1, 3, 4, 7, 35.

Ответ: а)  да, на­при­мер: 1, 3, 8, 11, 2; б)  нет; в)  2.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, из числа 2847 по­лу­ча­ет­ся 2108124117.

б)  За­ме­тим, что если в из­на­чаль­ном числе была цифра 9 (не в по­след­нем раз­ря­де), то в по­лу­чив­шем­ся числе спра­ва от нее долж­на сто­ять цифра 1 или 9. Зна­чит, цифра 9 в числе 37494128 могла по­лу­чить­ся толь­ко в ре­зуль­та­те сло­же­ния со­сед­них цифр. Но сумма 4 + 4 не равна 9, по­это­му такое число не могло по­лу­чить­ся.

в)  Пусть из­на­чаль­ное трех­знач­ное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c  — цифры. По­лу­чив­ше­е­ся число будет се­ми­знач­ным, толь­ко если и а во всех осталь­ных слу­ча­ях по­лу­чен­ное число будет мень­ше 1 000 000.

Если то по­лу­чен­ное число будет равно

Зна­ко­че­ре­ду­ю­щая сумма цифр по­лу­чен­но­го числа равна

При a  =  9 по­лу­чив­ше­е­ся число будет боль­ше, чем при любом дру­гом a, вне за­ви­си­мо­сти от b и c. В этом слу­чае 2a – b де­лит­ся на 11 толь­ко при b  =  7 и любом c. При a  =  9 и b  =  7 мак­си­маль­ное число по­лу­чит­ся для c  =  9.

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное число по­лу­ча­ет­ся из числа 979 и равно 9 167 169.

Ответ: а)  2847; б)  нет; в)  9 167 169.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, из числа 4675 по­лу­ча­ет­ся 4106137125.

б)  За­ме­тим, что если в из­на­чаль­ном числе была цифра 9 (не в по­след­нем раз­ря­де), то в по­лу­чив­шем­ся числе спра­ва от нее долж­на сто­ять цифра 1 или 9. Зна­чит, цифра 9 в числе 27593118 могла по­лу­чить­ся толь­ко в ре­зуль­та­те сло­же­ния со­сед­них цифр. Но сумма 5 + 3 не равна 9, по­это­му такое число не могло по­лу­чить­ся.

в)  Пусть из­на­чаль­ное трех­знач­ное число равно где a, b и c  — цифры. По­лу­чив­ше­е­ся число будет се­ми­знач­ным, толь­ко если и а во всех осталь­ных слу­ча­ях по­лу­чен­ное число будет мень­ше 1 000 000.

Если то по­лу­чен­ное число будет равно

Сумма цифр по­лу­чен­но­го числа равна

При по­лу­чив­ше­е­ся число будет боль­ше, чем при любых дру­гих a и b, вне за­ви­си­мо­сти от c. В этом слу­чае де­лит­ся на 9 толь­ко при Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное число по­лу­ча­ет­ся из числа 887 и равно 8168157.

Ответ: а) 4675; б) нет; в) 8168157.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность 4, 9, 7, 7, 7, 5 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

б)  Если по­лу­ча­ем:

от­ку­да что не­воз­мож­но. Зна­чит, не су­ще­ству­ет такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, для ко­то­рой

в)  По­сколь­ку по­лу­ча­ем

а по­сколь­ку по­лу­ча­ем

то есть

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 0, 5, 9, 7, 7, 7 имеем:

Ответ: а)  на­при­мер, 4, 9, 7, 7, 7, 5; б)  нет; в)  5,2.