С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 4106137125.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 27593118?
в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?
а) Например, из числа 4675 получается 4106137125.
б) Заметим, что если в изначальном числе была цифра 9 (не в последнем разряде), то в получившемся числе справа от нее должна стоять цифра 1 или 9. Значит, цифра 9 в числе 27593118 могла получиться только в результате сложения соседних цифр. Но сумма 5 + 3 не равна 9, поэтому такое число не могло получиться.
в) Пусть изначальное трехзначное число равно 
где a, b и c — цифры. Получившееся число будет семизначным, только если 
и 
а во всех остальных случаях полученное число будет меньше 1 000 000.
Если 
то полученное число будет равно
Сумма цифр полученного числа равна
При 
получившееся число будет больше, чем при любых других a и b, вне зависимости от c. В этом случае 
делится на 9 только при 
Таким образом, максимальное число получается из числа 887 и равно 8168157.
Ответ: а) 4675; б) нет; в) 8168157.