PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке 
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению 
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 
Второй случай: 
при условии 
Это уравнение имеет на отрезке 
единственный корень 
Условие принимает вид 
То есть в этом случае 
при 
Корень уравнения 
принадлежит отрезку при 
Корни уравнения и совпадают при 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке при 
и 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Имеем:
ОДЗ уравнения задается неравенством 
Первый случай: 
Второй случай: 
из условия 
получаем, что 
Спроецируем на координатную ось xOa функции-решения 
и 
при этом учтем и 
Видим, что при графики функций имеют одну общую точку, следовательно, уравнение имеет одно решение, при 
уравнение имеет два решения, при 
— одно решение.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек  и/или  | 3 |
В решении верно найдены корни при  и  при  возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: при  при  ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений а из-за вычислительной ошибки | 2 |
| В решении верно найден один из корней при или при возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: при при | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Рассмотрим два случая.
при условии 
Получаем 
откуда 
То есть в этом случае 
при 
Получаем 
при 
и
при 
возможно с учётом принадлежности корня указанному отрезку: 
Рассмотрим два случая.
тогда 
откуда 
То есть в этом случае 
Получаем 
и 
при 
и рассмотрим два случая.
является корнем при выполнении условий 
удовлетворяет условию и лежит на отрезке [0; 1] при 
и 
и 
и/или 
, но неверно определены промежутки
или 
возможно, с исключением граничных точек
и рассмотрим два случая.
этот корень лежит на отрезке [0;1]. Остается проверить условия: 
лежит на отрезке [0; 1] при 
Для второго случая получаем 
и 
и 
, но неверно определены промежутки
или 
возможно, с исключением граничных точек
и рассмотрим два случая.
Этот корень лежит на отрезке [0;1]. Остается проверить условия: 
Для второго случая получаем 
и 
и 
, но неверно определены промежутки
или 
возможно, с исключением граничных точек
откуда на ОДЗ либо 
либо 
Рассмотрим эти случаи.
при при выполнении условия 
то есть если
лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: 
учитывая 
получаем 
лежит на отрезке [0; 1] при 
учитывая 
получаем 
совпадают при 
совпадают при 
и 
и 
откуда на ОДЗ либо 
либо 
Рассмотрим эти случаи.
при условии 
лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: 
лежит на отрезке [0; 1] при 
учитывая 
лежит на отрезке [0; 1] при 
и 
совпадают при 
совпадают при 
и 
и 
и/или 
, но неверно определены промежутки.
или 
возможно с исключением граничных точек.
откуда на ОДЗ либо 
либо 
Рассмотрим эти случаи.
при условиях:
лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: 
лежит на отрезке [0; 1], если 
Тогда для второго случая получаем: 
если 
откуда на ОДЗ либо 
Рассмотрим эти случаи.
при условиях:
лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: 
если 
откуда на ОДЗ либо 
либо 
при условиях:
лежит на отрезке [0; 2], если 
Тогда для первого случая получаем: 
при условии 
лежит на отрезке [0; 2], если 
Тогда для второго случая получаем: 
равен 
если 
и 
, возможно с учётом принадлежности их отрезку [0; 2].
при условиях:
лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: 
при условии
лежит на отрезке [0; 1], если 
Тогда для второго случая получаем: 
если 
при условиях:
лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: 
при условии 
лежит на отрезке [0; 1], если 
Тогда для второго случая получаем: 
если 
при условиях:
лежит на отрезке [0; 1], если 
Тогда для первого случая получаем: 
при условии 
лежит на отрезке [0; 1], если 
Тогда для второго случая получаем: 
и 
и 
, возможно с учётом принадлежности их отрезку [0; 1]
и двух тупых углов, ограниченных прямыми 
и 
(см. рис., выделено жирным контуром). Найдём абсциссы их точек пересечения.
то есть для всех a из отрезка
и для 
при 
и 
при 
Поэтому первое неравенство системы равносильно двойному неравенству 
при 
при 
При 
исходная система принимает вид:
выполнено неравенство 
поскольку 
Поэтому при 
откуда 
Заметим, что максимальное значение функции 
на отрезке 
равно 4, а минимальное значение функции 
равно 
Значит, выполнено неравенство 
Кроме того, при 
больший корень уравнения 
удовлетворяет системе неравенств, поскольку функция 
до 4 и её значения в точке отрезка 
Таким образом, исходная система неравенств имеет хотя бы одной решение при 
и/или 
или 
Получаем 
при условии 
условие принимает вид 
откуда 
То есть в этом случае 
(это корень 
);
(это корень 
при 
и 
,
или с учетом принадлежности корней указанному отрезку: 
и 
при условии 
условие принимает вид 
откуда 
То есть в этом случае 
при 
и 
,
или с учетом принадлежности корней указанному отрезку: 
и 
и прямая 
имеют с прямой 
две различных точки пересечения на области 
(см. рис.)
система имеет одно решение;
− два решения; 
− три решения;
− три решения.
Решения первого уравнения системы совпадают с решениями уравнений 
имеет единственное решение при любом значении a.
откуда 
C учётом условия 
получаем, что при 
решений нет, а при 
имеется одно решение.
откуда 
C учётом условия 
решений нет, а при 
имеет одно решение.
либо 
откуда 
либо 
откуда 
имеет два решения при 
имеет три решения при 
и 
множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек
или 