Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 517464

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

 натуральный логарифм левая круглая скобка 3a минус x правая круглая скобка \ln левая круглая скобка 2x плюс 2a минус 5 правая круглая скобка =\ln левая круглая скобка 3a минус x правая круглая скобка \ln левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка

имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].

Спрятать решение

Решение.

Имеем уравнение вида ty=tz, откуда на ОДЗ либо t=0, либо y=z. Рассмотрим эти случаи.

 

Первый случай: \ln левая круглая скобка 3a минус x правая круглая скобка =0 при условиях:

 система выражений 2x плюс 2a минус 5 больше 0,x минус a больше 0. конец системы .

Имеем:

 система выражений x=3a минус 1, 2 левая круглая скобка 3a минус 1 правая круглая скобка плюс 2a минус 5 больше 0,3a минус 1 минус a больше 0 конец системы . равносильно система выражений x=3a минус 1, a больше дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби . конец системы .

Число 3a минус 1 лежит на отрезке [0; 2], если  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше или равно 1. Тогда для первого случая получаем:  дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби меньше a меньше или равно 1.

Второй случай: \ln левая круглая скобка 2x плюс 2a минус 5 правая круглая скобка =\ln левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка при условии 3a минус x больше 0:

 система выражений 2x плюс 2a минус 5=x минус a,x минус a больше 0, 3a минус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений x=5 минус 3a,5 минус 3a минус a больше 0, 3a минус левая круглая скобка 5 минус 3a правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений x=5 минус 3a, дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы .

 

Число x=5 минус 3a лежит на отрезке [0; 2], если 1 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби . Тогда для второго случая получаем: 1 меньше или равно a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .

Корень x=3a минус 1 равен x=5 минус 3a, если a=1.

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 2] при  дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a=1 3
В решении верно найдены оба корня x=3a минус 1при a больше дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби и x=5 минус 3aпри дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби , возможно с учётом принадлежности их отрезку [0; 2]

ИЛИ

верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений а из-за вычислительной ошибки

2
В решении верно найден один из корней x=3a минус 1при a больше дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби или x=5 минус 3aпри дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби , возможно с учётом принадлежности его отрезку [0; 2]

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 517464: 517508 517545 517471 517549 Все

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 401 (C часть).
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром