Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517543
i

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

\ln левая круг­лая скоб­ка 5x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 2x плюс 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =0

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем урав­не­ние вида xy=0, от­ку­да на ОДЗ либо x=0, либо y=0. Рас­смот­рим эти слу­чаи.

 

Пер­вый слу­чай: \ln левая круг­лая скоб­ка 5x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, при при вы­пол­не­нии усло­вия x в квад­ра­те минус 2x плюс 2a минус a в квад­ра­те \geqslant0, то есть если

си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: конец дроби 25 минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 2a минус a в квад­ра­те \geqslant0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,a в квад­ра­те минус 2a плюс дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби \leqslant0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,a мень­ше или равно 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби конец ар­гу­мен­та a боль­ше или равно 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . конец си­сте­мы .

Число дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби лежит на от­рез­ке [0; 1], для пер­во­го слу­чая по­лу­ча­ем: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Вто­рой слу­чай:

си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус 2x плюс 2a минус a в квад­ра­те =0,5x минус 2 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка =0,5x минус 2 боль­ше 0, конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, 5x минус 2 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=a,x=2 минус a конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x=a,a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x=2 минус a,2 минус a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x=a,a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец си­сте­мы . левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний x=2 минус a,a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . конец си­сте­мы . левая круг­лая скоб­ка ** пра­вая круг­лая скоб­ка конец со­во­куп­но­сти .

Ко­рень a лежит на от­рез­ке [0; 1] при 0 мень­ше или равно a\leqslant1, учи­ты­вая левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше a\leqslant1.

Ко­рень 2 минус a лежит на от­рез­ке [0; 1] при 1 мень­ше или равно a\leqslant2, учи­ты­вая левая круг­лая скоб­ка ** пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем 1 мень­ше или равно a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Корни урав­не­ния x=a и x=2 минус a сов­па­да­ют при a=1.

Корни урав­не­ния x=a и x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби сов­па­да­ют при a= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Корни урав­не­ния x=2 минус a и x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби сов­па­да­ют при a= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1] при дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , и дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , и дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 517536: 517543 Все

Источник: За­да­ния 18 (С6) ЕГЭ 2017
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025