Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Решение.
Спрятать критерииЗапишем уравнение в виде 
и рассмотрим два случая.
Первый случай: 
Этот корень лежит на отрезке [0;1]. Остается проверить условия:
То есть если
Второй случай:
Корень 
лежит на отрезке [0; 1] при 
Для второго случая получаем 
Корни уравнения 
и 
совпадают при 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при 
и 
Ответ: 
и/или 
, но неверно определены промежутки
или 
возможно, с исключением граничных точекИсточники:
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев
Я долго думал над этой задачей и пришел к выводу, что кроме удовлетворения ОДЗ в первом случае необходимо дописать, что
x-a не равно 2x+a, ибо условия >0 позволяют существовать корню 2/3, но не исключают возможность равенства 2x+a=x-a.
Во втором случае необходимо равенство логарифмируемых выражений(что было совершенно верно записано), одз. Тогда мы совершенно точно можем сказать, что да, среди логарифмов есть корень. Но 2/3 никто не отменял! Он корень по умолчанию, и чтобы его исключить, дополнительное необходимо условие, что 2/3 НЕ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА, т.е. корень в ноль не обращается. Для этого достаточно изменить знак 3x-2>=0 на >
Yakov, в Ваших рассуждениях Вы пытаетесь сразу ответить на вопрос о единственности корня, поэтому добавляете ограничений (не всегда верных). В нашем решении сначала находят корни и условия их существования, а потом уже выясняют единственность, где и учитывают возможность совпадения корней.