СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 517504

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Решение.

Изобразим множество точек, заданное системой неравенств

на плоскости

Искомое множество является пересечением части плоскости, лежащей внутри параболы, заданной уравнением и двух тупых углов, ограниченных прямыми и (см. рис., выделено жирным контуром).

Найдём абсциссы их точек пересечения:

Решим уравнение

Решим уравнение

Из рисунка следует, что система имеет решения для всех а, лежащих выше ординаты вершины параболы, но ниже точки пересечения параболы с прямой то есть для всех a из отрезка и для

 

Приведём другое решение.

Заметим, что при и при Поэтому первое неравенство системы равносильно двойному неравенству при и равносильно двойному неравенству при При получаем:

откуда При исходная система принимает вид:

откуда

При любом выполнено неравенство поскольку Поэтому при исходная система равносильна системе

Из этой системы следует, что откуда Заметим, что максимальное значение функции на отрезке равно 4, а минимальное значение функции равно Значит, выполнено неравенство Кроме того при больший корень уравнения удовлетворяет системе неравенств, поскольку функция принимает на отрезке все значения от до 4, и её значения в точке отрезка не превосходят значений функции Таким образом, исходная система неравенств имеет хотя бы одной решение при и

 

Ответ:

Источник: За­да­ния 18 (С6) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Координаты (x, a), Координаты (x, a)
Спрятать решение · ·
Семён Абакумов 30.05.2018 17:59

Доброго времени суток, возник вопрос: почему система имеет решения при a=10, а не при a>=10, ведь в точке a=10 парабола пересекает прямую a=-7x-4 и при a>10 лежит ниже этой прямой, то есть будет уже не одно решение, а все больше и больше по ходу по оси a... Ведь так? На мой взгляд, a должно быть >=10, а не =10

Александр Иванов

Парабола не пересекает прямую , а касается её