СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 517504

Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Изобразим множество точек, заданное системой неравенств

на плоскости

Искомое множество является пересечением части плоскости, лежащей внутри параболы, заданной уравнением и двух тупых углов, ограниченных прямыми и (см. рис., выделено жирным контуром).

Найдём абсциссы их точек пересечения:

Решим уравнение

Решим уравнение

Из рисунка следует, что система имеет решения для всех а, лежащих выше ординаты вершины параболы, но ниже точки пересечения параболы с прямой то есть для всех a из отрезка и для

 

Приведём другое решение.

Заметим, что при и при Поэтому первое неравенство системы равносильно двойному неравенству при и равносильно двойному неравенству при При получаем:

откуда При исходная система принимает вид:

откуда

При любом выполнено неравенство поскольку Поэтому при исходная система равносильна системе

Из этой системы следует, что откуда Заметим, что максимальное значение функции на отрезке равно 4, а минимальное значение функции равно Значит, выполнено неравенство Кроме того при больший корень уравнения удовлетворяет системе неравенств, поскольку функция принимает на отрезке все значения от до 4, и её значения в точке отрезка не превосходят значений функции Таким образом, исходная система неравенств имеет хотя бы одной решение при и

 

Ответ:

Источник: За­да­ния 18 (С6) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Координаты (x, a)
Спрятать решение · ·
Семён Абакумов 30.05.2018 17:59

Доброго времени суток, возник вопрос: почему система имеет решения при a=10, а не при a>=10, ведь в точке a=10 парабола пересекает прямую a=-7x-4 и при a>10 лежит ниже этой прямой, то есть будет уже не одно решение, а все больше и больше по ходу по оси a... Ведь так? На мой взгляд, a должно быть >=10, а не =10

Александр Иванов

Парабола не пересекает прямую , а касается её