Ре­ше­ние. Боль­ший от­ре­зок сред­ней линии тра­пе­ции яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ABD, а зна­чит, равен по­ло­ви­не его ос­но­ва­ния:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние равно:

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. По­верх­но­сти кре­ста со­став­ле­на из шести по­верх­но­стей кубов, у каж­до­го из ко­то­рых от­сут­ству­ет одна грань. Таким об­ра­зом, по­верх­ность кре­ста со­сто­ит из 30 еди­нич­ных квад­ра­тов, по­это­му ее пло­щадь равна 30.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. У Вити в ко­пил­ке лежит 12 + 6 + 4 + 3  =  25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30  =  74 рубля. Боль­ше 70 руб­лей оста­нет­ся, если до­стать из ко­пил­ки либо рублёвую, либо двух­рублёвую мо­не­ту. Таких монет 12 + 6  =  18. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 18 : 25  =  0,72.

Ответ: 0,72.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что ве­ро­ят­ность по­лу­че­ния новой прин­цес­сы равна а ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия  — по­лу­че­ние ста­рой прин­цес­сы  — Ве­ро­ят­ность того, что для по­лу­че­ния сле­ду­ю­щей прин­цес­сы Маше придётся ку­пить 2 шо­ко­лад­ных яйца, равна Ве­ро­ят­ность того, что для по­лу­че­ния сле­ду­ю­щей прин­цес­сы Маше придётся ку­пить 3 шо­ко­лад­ных яйца, равна Таким об­ра­зом, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность  — 0,16 + 0,032  =  0,192.

Ответ: 0,192.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. По­ло­жи­тель­ным зна­че­ни­ям про­из­вод­ной со­от­вет­ству­ет ин­тер­ва­лы, на ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет. На них лежат точки Таких точек 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ных зна­че­ни­ях по­сто­ян­ной тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха К, на­чаль­но­го дав­ле­ния атм и ко­ли­че­ства воз­ду­ха моль:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пусть u км/ч  — соб­ствен­ная ско­рость теп­ло­хо­да, тогда ско­рость теп­ло­хо­да по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость теп­ло­хо­да про­тив те­че­ния равна км/ч. На весь путь теп­ло­ход за­тра­тил 34 − 2 = 32 часов, от­сю­да имеем:

Ответ: 16.

При­ме­ча­ние.

Корни квад­рат­но­го урав­не­ния можно найти по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета. Дей­стви­тель­но, при этом По­это­му корни урав­не­ния суть числа и

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку f(0)  =  −1,5, тогда

Ответ: −1,5.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: −1.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем левую часть урав­не­ния при по­мо­щи фор­му­лы раз­но­сти ко­си­ну­сов:

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку Учи­ты­вая, что решим не­ра­вен­ства:

Зна­чит,

Зна­чит,

Зна­чит,

На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну ос­но­ва­ния АВ в точке М. По­сколь­ку плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой ВС, она па­рал­лель­на и пря­мой AD, а зна­чит, пря­мые NM и AD па­рал­лель­ны. Тогда четырёхуголь­ник DNMA  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му точка М делит сто­ро­ну АВ в том же от­но­ше­нии, что точка N делит сто­ро­ну DC.

б)  За­ме­тим, что пря­мые KN и SD па­рал­лель­ны, по­сколь­ку от­се­ка­ют на сто­ро­нах угла про­пор­ци­о­наль­ные от­рез­ки. Таким об­ра­зом, в плос­ко­сти α лежат две пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые KN и NM, со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ные двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым SD и DA плос­ко­сти SDA. Тогда по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти плос­ко­стей плос­ко­сти α и SDA па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми SA и KN можно найти как рас­сто­я­ние между этими па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми.

Пусть Р  — се­ре­ди­на AD, H  — се­ре­ди­на ВС. По­стро­им тре­уголь­ник SPH и пусть пря­мая HT пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SP. Кроме того, HT пер­пен­ди­ку­ляр­на AD и, сле­до­ва­тель­но, плос­ко­сти SDA, а вме­сте с ней α. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро SB в точке L, при­чем, KL || BC. R  — точка пе­ре­се­че­ния KL и SH, таким об­ра­зом, QR  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ну KL и се­ре­ди­ну MN. Тогда пря­мые SP и QR  — па­рал­лель­ны, а рас­сто­я­ние между ними равно ис­ко­мо­му рас­сто­я­нию между плос­ко­стя­ми SDA и α.

За­ме­тим, что PH  =  AB  =  4. В тре­уголь­ни­ке SAP: Пусть тогда при­ме­няя тео­ре­му Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ков SHT и PHT, по­лу­ча­ем:

Тогда

По усло­вию, по­это­му а тогда плос­кость се­че­ния делит вы­со­ту HT в том же от­но­ше­нии, счи­тая от точки T. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между SP и QR есть чет­верть вы­со­ты HT:

Ответ: б)

При­ме­ча­ние.

Вы­со­та HT рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка SPH может быть най­де­на проще. Вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию PH есть вы­со­та пи­ра­ми­ды, со­еди­ня­ю­щая вер­ши­ну с цен­тром ос­но­ва­ния, зна­чит, Тогда

Ре­ше­ние. По­лу­чим:

Пусть Тогда

По­лу­чен­ное не­ра­вен­ство решим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Итак, или Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной х.

Таким об­ра­зом,

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть S  — сумма кре­ди­та. Обо­зна­чим еже­год­ные пла­те­жи и со­от­вет­ствен­но. Сумма долга каж­дый год уве­ли­чи­ва­ет­ся на то есть сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент После пер­вой вы­пла­ты сумма долга ста­нет рав­ной после вто­рой вы­пла­ты: после тре­тье вы­пла­ты: после четвёртой вы­пла­ты: Причём долг будет по­га­шен пол­но­стью, по­лу­ча­ем, то есть Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем урав­не­ние для слу­чая, когда вы­пла­ты со­вер­ша­ют­ся пла­те­жа­ми раз­ме­ром Имеем си­сте­му урав­не­ний:

Под­ста­вим вы­ра­же­ние для в пер­вое урав­не­ние: Пре­об­ра­зу­ем это урав­не­ние:

Под­став­ляя чис­ло­вые зна­че­ния по­лу­ча­ем:

От­ри­ца­тель­ные корни не под­хо­дят по усло­вию за­да­чи, зна­чит, от­ку­да то есть Пётр взял день­ги в банке под 20%.

Ответ: 20%.

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — центр боль­шей окруж­но­сти. Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку ка­са­ния, по­это­му OA  — диа­метр мень­шей окруж­но­сти.

Точка K лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром OA, зна­чит, ∠AKO = 90°. От­ре­зок OK  — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из цен­тра боль­шей окруж­но­сти на хорду AB. По­это­му K  — се­ре­ди­на AB. Ана­ло­гич­но M  — се­ре­ди­на AC, по­это­му KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые MK и BC па­рал­лель­ны.

б)  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на хорду BC. Тогда H  — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OHB на­хо­дим, что

Пусть Q  — центр мень­шей окруж­но­сти. Тогда пря­мые QP и OH па­рал­лель­ны. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QF из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на OH. Тогда

а из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка APO на­хо­дим, что

От­ре­зок KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му L сре­ди­на AP. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

При­ведём ре­ше­ние Марии Ковалёвой (Москва).

а)  Про­ведём общую ка­са­тель­ную к окруж­но­стям AT, как по­ка­за­но на ри­сун­ке слева. Тогда и по­сколь­ку угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не за­ключённой между ними дуги. Тогда равны Со­от­вет­ствен­ные углы при пе­ре­се­че­нии пря­мых KM и BC равны, по­это­му дан­ные пря­мые па­рал­лель­ны.

б)  По обоб­щен­ной тео­ре­ме си­ну­сов, в тре­уголь­ни­ках AKM и ABC сто­ро­ны KM и BC от­но­сят­ся так же, как ра­ди­у­сы дан­ных в усло­вии окруж­но­стей, то есть как 1 : 2. Сле­до­ва­тель­но, KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, и по тео­ре­ме Фа­ле­са. Оста­лось найти AР.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на хорду BC (см. рис. спра­ва). Тогда H  — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OHB на­хо­дим, что

Тре­уголь­ник OAP пря­мо­уголь­ный, так как угол OРA опи­ра­ет­ся на диа­метр. Углы OAP и OPH равны по тео­ре­ме об угле между ка­са­тель­ной и хор­дой. Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки OAP и OPH по­доб­ны по остро­му углу. Имеем: то есть Сле­до­ва­тель­но, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Чи­та­тель, изу­ча­ю­щий углуб­лен­ный курс гео­мет­рии или за­ни­мав­ший­ся в круж­ке, сразу за­ме­тит, что при го­мо­те­тии с цен­тром в точке A и ко­эф­фи­ци­ен­том 2 мень­шая окруж­ность пе­ре­хо­дит в боль­шую, а хорда KM пе­ре­хо­дит в хорду BC. Из этого сразу сле­ду­ет и па­рал­лель­ность прямыx KM и BC, и со­от­но­ше­ние

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное не­ра­вен­ство:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ют­ся ко­ор­ди­на­ты точек вы­де­лен­ных оран­же­вым цве­том

С по­мо­щью гра­фи­ка найдём ре­ше­ния не­ра­вен­ства на ин­тер­ва­ле (1; 2):

1.  При не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний.

2.  При ре­ше­ни­ем яв­ля­ют­ся все точки, ле­жа­щие пра­вее пря­мой но левее пра­вой ветви па­ра­бо­лы то есть

3.  При ре­ше­ни­ем яв­ля­ют­ся все точки между пря­мы­ми и то есть

4.  При ре­ше­ни­ем яв­ля­ют­ся все точки, ле­жа­щие пра­вее пра­вой ветви па­ра­бо­лы и левее пря­мой то есть

5.  При не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний.

Ответ:

Ре­ше­ние. Если сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых 27 чисел на­бо­ра мень­ше 2, то сумма любых 27 чисел на­бо­ра мень­ше 27 · 2  =  54. Бу­дучи на­ту­раль­ным чис­лом, эта сумма не пре­вос­хо­дит 53.

Обо­зна­чим S мак­си­маль­ную сумму 27 чисел дан­но­го на­бо­ра. Итак,

а)  Да, может. Такой набор со­дер­жит 13 еди­ниц, 17 двоек и 3, 4, 5. Для него, оче­вид­но,

На­во­дя­щее со­об­ра­же­ние очень про­стое. Если есть ровно 13 еди­ниц и 3, 4, 5, то остав­ши­е­ся 17 ва­кан­сий за­пол­ня­ют­ся как ми­ни­мум двой­ка­ми. Вот и возьмём набор с этими 17-ю двой­ка­ми! Ясно, что мак­си­маль­ная сумма S по­лу­чит­ся, если в ка­че­стве сла­га­е­мых взять 3, 4, 5 и все двой­ки, до­брав оста­ток еди­ни­ца­ми.

б)  Пред­по­ло­жим, что набор со­дер­жит k еди­ниц Осталь­ные 30 − k чисел на­бо­ра (по­ми­мо 3, 4, 5) назовём ва­кант­ны­ми. Ва­кант­ных чисел, стало быть, не менее 18, и каж­дое ва­кант­ное число не мень­ше 2.

Таким об­ра­зом, наш набор со­дер­жит 3, 4, 5 и во­сем­на­дцать чисел, не мень­ших 2; осталь­ные числа на­бо­ра не мень­ше 1. Для мак­си­маль­ной суммы S тогда по­лу­ча­ем:

Дан­ное не­ра­вен­ство по­ка­зы­ва­ет, что набор не может со­дер­жать менее 13 еди­ниц.

в)  За­ме­тим сразу, что если набор со­дер­жит не менее 16 еди­ниц, то

По­это­му остаётся разо­брать слу­чаи, когда ко­ли­че­ство k еди­ниц в на­бо­ре менее 16.

Осталь­ные 30 − k чисел (по­ми­мо 3, 4, 5) про­дол­жа­ем на­зы­вать ва­кант­ны­ми.

При k  =  13. Легко ви­деть, что набор, предъ­яв­лен­ный в пунк­те а), ока­зы­ва­ет­ся един­ствен­ным на­бо­ром с ровно три­на­дца­тью еди­ни­ца­ми. В самом деле, для лю­бо­го дру­го­го та­ко­го на­бо­ра сумма 17-ти ва­кант­ных чисел будет боль­ше и сумма S ста­нет боль­ше 53. А для предъ­яв­лен­но­го на­бо­ра имеем:

При k  =  14 или k  =  15. За­ме­тим, что среди ва­кант­ных чисел обя­за­тель­но найдётся двой­ка. В самом деле, иначе все ва­кант­ные числа (ко­то­рых, со­от­вет­ствен­но, 16 или 15) будут не мень­ше 3, и тогда их сумма ока­жет­ся как ми­ни­мум что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Остаётся взять 14 еди­ниц и эту двой­ку:

До­ка­за­тель­ство за­кон­че­но.

Ответ: а)  да; б)  нет.