Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Даны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да у ко­то­ро­го

Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ис­то­рии уча­щий­ся решит боль­ше 10 задач, равна 0,75. Ве­ро­ят­ность того, что уча­щий­ся верно решит боль­ше 9 задач, равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Т. верно решит ровно 10 задач.

В ко­роб­ке 8 синих, 6 крас­ных и 11 зелёных фло­ма­сте­ров. Слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ют два фло­ма­сте­ра. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ока­жут­ся вы­бра­ны один синий и один крас­ный фло­ма­стер?

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (1; 10). Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции f(x).

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий моль воз­ду­ха при дав­ле­нии ат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоёма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го дав­ле­ния Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — по­сто­ян­ная, К  — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Най­ди­те, какое дав­ле­ние (в атм) будет иметь воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха была со­вер­ше­на ра­бо­та в 6900 Дж.

Име­ют­ся два со­су­да. Пер­вый со­дер­жит 30 кг, а вто­рой  — 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если эти рас­тво­ры сме­шать, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 68% кис­ло­ты. Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 70% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом со­су­де?

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(4).

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M и K  — се­ре­ди­ны его ребер AB и BC со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точку B па­рал­лель­но пря­мым A₁M и B₁K.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точку D.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью α, если его ребра равны 2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле пла­ни­ру­ет­ся от­крыть вклад в банке под 25% го­до­вых на не­ко­то­рую сумму. В на­ча­ле 2, 3 и 4 годов со вкла­да сни­ма­ют одну и ту же сумму. Най­ди­те ис­ход­ную сумму вкла­да, если после тре­тье­го сня­тия на вкла­де оста­лось 0 руб­лей, а всего было снято 375 000 руб­лей.

Дан пря­мо­уголь­ник ABCD. Из­вест­но, что CD  =  3AD. Точка M  — се­ре­ди­на его сто­ро­ны AD. На сто­ро­не CD от­ме­че­на точка N. Из­вест­но, что CN  =  2ND. Точка K  — се­ре­ди­на от­рез­ка CM.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, N и K лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те KN, если из­вест­но, что

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 50. Вме­сто не­ко­то­рых чисел (воз­мож­но, од­но­го) на доске на­пи­са­ли числа, боль­шие пер­во­на­чаль­ных на еди­ни­цу. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 51, с доски стёрли, но на доске оста­лось хотя бы одно число.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел умень­ши­лось?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 24. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 17?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 24. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.