ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 507208 Добавить в вариант

31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая  — 31  декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

Спрятать решение

Решение.

Пусть S  — сумма кредита. Обозначим ежегодные платежи $A_1$ и $A_2$ соответственно. Сумма долга каждый год увеличивается на $a\%,$ то есть сумма долга умножается на коэффициент $b=1 плюс 0,01a.$ После первой выплаты сумма долга станет равной $S_1=Sb минус A_1,$ после второй выплаты: $S_2= левая круглая скобка Sb минус A_1 правая круглая скобка b минус A_1,$ после третье выплаты: $S_3= левая круглая скобка левая круглая скобка Sb минус A_1 правая круглая скобка b минус A_1 правая круглая скобка b минус A_1,$ после четвёртой выплаты: $S_4= левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка Sb минус A_1 правая круглая скобка b минус A_1 правая круглая скобка b минус A_1 правая круглая скобка b минус A_1.$ Причём долг будет погашен полностью, получаем, то есть $левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка Sb минус A_1 правая круглая скобка b минус A_1 правая круглая скобка b минус A_1 правая круглая скобка b минус A_1=0.$ Аналогично получаем уравнение для случая, когда выплаты совершаются платежами размером $A_2:$ $S_2'= левая круглая скобка Sb минус A_2 правая круглая скобка b минус A_2.$ Имеем систему уравнений:

$система выражений новая строка Sb в степени 4 минус A_1b в кубе минус A_1b в квадрате минус A_1b минус A_1=0, новая строка Sb в квадрате минус A_2b минус A_2=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка Sb в квадрате умножить на b в квадрате минус A_1b в кубе минус A_1b в квадрате минус A_1b минус A_1=0, новая строка Sb в квадрате =A_2b плюс A_2. конец системы .$ $система выражений новая строка Sb в степени 4 минус A_1b в кубе минус A_1b в квадрате минус A_1b минус A_1=0, новая строка Sb в квадрате минус A_2b минус A_2=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка Sb в квадрате умножить на b в квадрате минус A_1b в кубе минус A_1b в квадрате минус A_1b минус A_1=0, новая строка Sb в квадрате =A_2b плюс A_2. конец системы .$

Подставим выражение для $Sb в квадрате$ в первое уравнение: $левая круглая скобка A_2 плюс A_2b правая круглая скобка умножить на b в квадрате минус A_1b в кубе минус A_1b в квадрате минус A_1b минус A_1=0.$ Преобразуем это уравнение:

$левая круглая скобка A_2 минус A_1 правая круглая скобка b в кубе плюс левая круглая скобка A_2 минус A_1 правая круглая скобка b в квадрате минус A_1b минус A_1=0 равносильно b в квадрате левая круглая скобка A_2 минус A_1 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка минус A_1 левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка =0$ $левая круглая скобка A_2 минус A_1 правая круглая скобка b в кубе плюс левая круглая скобка A_2 минус A_1 правая круглая скобка b в квадрате минус A_1b минус A_1=0 равносильно$
$равносильно b в квадрате левая круглая скобка A_2 минус A_1 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка минус A_1 левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка =0$

$равносильно левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка A_2 минус A_1 правая круглая скобка b в квадрате минус A_1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка b= минус 1, новая строка b в квадрате = дробь: числитель: A_1, знаменатель: A_2 минус A_1 конец дроби . конец совокупности .$

Подставляя числовые значения получаем:

$совокупность выражений новая строка b= минус 1, новая строка b= минус 1,2, новая строка b=1,2. конец совокупности .$

Отрицательные корни не подходят по условию задачи, значит, $b=1,2,$ откуда $a=20,$ то есть Пётр взял деньги в банке под 20%.

Ответ: 20%.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 507208: 507218 515671 686785 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь