Ост­рый угол пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 32°. Най­ди­те ост­рый угол, об­ра­зо­ван­ный бис­сек­три­са­ми этого и пря­мо­го углов тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Даны век­то­ры и Най­ди­те ко­си­нус угла между ними.

Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба.

Иг­раль­ную кость бро­са­ют два раза. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­пав­шие зна­че­ния сов­па­да­ют. Ответ округ­ли­те до сотых.

Пра­виль­ный иг­раль­ный кубик бро­са­ли до тех пор, пока сумма вы­пав­ших при всех брос­ках очков не стала боль­ше чем 3. Из­вест­но, что общая сумма очков ока­за­лась равна 4. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что был сде­лан ровно один бро­сок? Ответ округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции   — и во­семь точек на оси абс­цисс: В сколь­ких из этих точек функ­ция убы­ва­ет?

Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся квад­рат­ная рамка с на­мо­тан­ным на неe про­во­дом, через ко­то­рый про­пу­щен по­сто­ян­ный ток. Рамка по­ме­ще­на в од­но­род­ное маг­нит­ное поле так, что она может вра­щать­ся. Мо­мент силы Ам­пе­ра, стре­мя­щей­ся по­вер­нуть рамку (в Нм), опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где   — сила тока в рамке, Тл  — зна­че­ние ин­дук­ции маг­нит­но­го поля, м  — раз­мер рамки,   — число вит­ков про­во­да в рамке,   — ост­рый угол между пер­пен­ди­ку­ля­ром к рамке и век­то­ром ин­дук­ции. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) рамка может на­чать вра­щать­ся, если для этого нужно, чтобы рас­кру­чи­ва­ю­щий мо­мент M был не мень­ше 0,75 Нм?

Вере надо под­пи­сать 640 от­кры­ток. Еже­днев­но она под­пи­сы­ва­ет на одно и то же ко­ли­че­ство от­кры­ток боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Вера под­пи­са­ла 10 от­кры­ток. Опре­де­ли­те, сколь­ко от­кры­ток было под­пи­са­но за чет­вер­тый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 16 дней.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки B.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Длина ребра пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD равна 1. Точка M  — се­ре­ди­на ребра BC, точка L  — се­ре­ди­на ребра AB.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, па­рал­лель­ная пря­мой CL и со­дер­жа­щая пря­мую DM, делит ребро AB в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны A.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми DM и CL.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В бас­сейн про­ве­де­ны три трубы. Пер­вая труба на­ли­ва­ет 30 м³ воды в час. Вто­рая труба на­ли­ва­ет в час на 3V м³ мень­ше, чем пер­вая (0 < V < 10), а тре­тья труба на­ли­ва­ет в час на 10V м³ боль­ше пер­вой. Сна­ча­ла пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте, на­ли­ва­ют 30% бас­сей­на, а затем все три трубы, ра­бо­тая вме­сте, на­ли­ва­ют остав­ши­е­ся 0,7 бас­сей­на. При каком зна­че­нии V бас­сейн быст­рее всего на­пол­нит­ся ука­зан­ным спо­со­бом?

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая окруж­ность про­хо­дит через центр O боль­шей. Диа­метр BC боль­шей окруж­но­сти вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке M, от­лич­ной от A. Лучи AO и AM вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют боль­шую окруж­ность в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. Точка C лежит на дуге AQ боль­шей окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точку P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и BC па­рал­лель­ны.

б)  Из­вест­но, что Пря­мые PC и AQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те от­но­ше­ние

Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ре­ше­ния на от­рез­ке

Про три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа из­вест­но, что они яв­ля­ют­ся дли­на­ми сто­рон не­ко­то­ро­го ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Могло ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

б)  Могло ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них, если из­вест­но, что сред­нее по ве­ли­чи­не из этих чисел равно 25?