Ре­ше­ние. Под углом пе­ре­се­че­ния пря­мых по­ни­ма­ет­ся мень­ший угол, ко­то­рый они об­ра­зу­ют. Най­дем угол АОЕ  — внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка АОС. По­лу­ча­ем:

Ответ: 61.

Ре­ше­ние. Ко­си­нус угла между век­то­ра­ми равен

Ответ: −0,96.

Ре­ше­ние. Объем куба V = a³ равен объ­е­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Зна­чит, для ребра куба имеем:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Каж­дый раз кубик может вы­пасть ше­стью ва­ри­ан­та­ми, по­это­му общее число ис­хо­дов равно 6 · 6   =  36. Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, при ко­то­рых вы­пав­шие зна­че­ния будут сов­па­дать, равно 6. Зна­чит, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,17.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все воз­мож­ные ис­пы­та­ния, при­во­дя­щие на каком-то шаге к сумме 4 очка:

где на месте x может быть любое число от 1 до 6, а на месте мно­го­то­чия может сто­ять сколь­ко угод­но (оди­на­ко­во для всех ис­пы­та­ний) х. Мак­си­маль­ное число брос­ков равно че­ты­рем, по­это­му под­хо­дят толь­ко ва­ри­ан­ты 1111, 112x, 121x, 13хх, 211х, 22хх, 31хx, 4ххх, таких ва­ри­ан­тов

Усло­вию, что был сде­лан ровно один бро­сок, удо­вле­тво­ря­ет лишь слу­чай 4ххx, таких ва­ри­ан­тов 216. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,63.

Ответ: 0,63.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, сумма всех вы­пав­ших в ре­зуль­та­те од­но­го или не­сколь­ких бро­са­ний очков равна 4, а со­бы­тие B со­сто­ит в том, что был сде­лан один бро­сок. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия В при усло­вии, что со­бы­тие А на­сту­пи­ло, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти: Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния со­бы­тий A и B, то есть со­бы­тия, в ко­то­ром при пер­вом бро­са­нии кости вы­па­ло 4 очка, равна

Со­бы­тие А яв­ля­ет­ся сум­мой не­сов­мест­ных со­бы­тий, со­сто­я­щих в том, что на ку­би­ке вы­па­да­ло сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ство очков:

Ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­ло 4 очка, равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Тогда для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,63.

Это же ре­ше­ние можно за­пи­сать иначе.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, сумма всех вы­пав­ших в ре­зуль­та­те од­но­го или не­сколь­ких бро­са­ний очков равна 4. По­стро­им де­ре­во ва­ри­ан­тов, при­во­дя­щих к этому со­бы­тию. Ис­хо­ды, при­во­дя­щие к этому со­бы­тию, от­ме­че­ны оран­же­вым цве­том.

Най­дем ве­ро­ят­ность P(A):

Пусть со­бы­тие B со­сто­ит в том, что был сде­лан один бро­сок. Тогда ис­ко­мая ве­ро­ят­ность P(B|A) со­бы­тия В при усло­вии, что со­бы­тие А на­сту­пи­ло (ве­ро­ят­ность того, что был сде­лан один бро­сок, при усло­вии что вы­па­ло 4 очка), опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния со­бы­тий B и A, то есть со­бы­тия, в ко­то­ром при пер­вом бро­са­нии кости вы­па­ло 4 очка (вы­де­ле­но са­ла­то­вым цве­том), равна  Тогда для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти по­лу­ча­ем:

Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,63.

Ответ: 0,63.

При­ме­ча­ние.

Лю­бо­зна­тель­ный чи­та­тель на­вер­ня­ка об­ра­тит вни­ма­ние на раз­ли­чие в спо­со­бах ре­ше­ния этой за­да­чи и за­да­чи 508762. В за­да­че 508762 под­счи­ты­ва­лось общее ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов, с по­мо­щью ко­то­рых можно по­лу­чить за­дан­ную сумму очков, а затем ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих ва­ри­ан­тов де­ли­лось на общее ко­ли­че­ство. В дан­ной за­да­че общее ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов равно 8: 4, Под­хо­дя­щий ва­ри­ант толь­ко один. Од­на­ко эти ва­ри­ан­ты не яв­ля­ют­ся рав­но­ве­ро­ят­ны­ми, по­это­му нель­зя де­лить ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих ва­ри­ан­тов на общее ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов, а не­об­хо­ди­мо рас­счи­ты­вать ве­ро­ят­но­сти ва­ри­ан­тов и ис­поль­зо­вать фор­му­лу услов­ной ве­ро­ят­но­сти, при­ве­ден­ную в ре­ше­нии дан­ной за­да­чи.

При­ме­ча­ние Решу ЕГЭ.

Раз­ра­бот­чи­ки ЕГЭ фор­му­ли­ро­ва­ли это за­да­ние сле­ду­ю­щим об­ра­зом: «Иг­раль­ную кость бро­си­ли один или не­сколь­ко раз. Ока­за­лось, что сумма всех вы­пав­ших очков равна 4. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что был сде­лан один бро­сок? Ответ округ­ли­те до сотых». Такая фор­му­ли­ров­ка не­кор­рект­на.

Дей­стви­тель­но, усло­вие «кость ки­да­ли це­ле­на­прав­лен­но, пока сумма ста­нет не мень­ше 4» от­ли­ча­ет­ся от усло­вия «стали бро­сать кость, после ка­ко­го-то брос­ка оста­но­ви­лись, под­счи­та­ли вы­пав­шие суммы, и ока­за­лось, что сумма очков равна 4». Про­ил­лю­стри­ру­ем ее сле­ду­ю­щим об­ра­зом.

Если 1000 че­ло­век бро­са­ют кости, пока в сумме не ста­нет не мень­ше 4 очков, то среди тех ис­хо­дов, где сумма по­лу­чи­лась ровно 4, при­мер­но в 63% слу­ча­ев (число из от­ве­та к за­да­че) был сде­лан один бро­сок.

Но если по­про­сить 1000 че­ло­век сколь­ко-то раз бро­сить кость, за­пи­сы­вая вы­пав­шие очки, а в какой-то мо­мент оста­но­вить­ся и под­счи­тать сумму вы­пав­ших очков, то ока­жет­ся, что для ис­хо­дов с сум­мой 4 очка один бро­сок был сде­лан да­ле­ко не в 63% слу­ча­ев. Пре­жде всего это будет за­ви­сеть от того, сколь­ко раз в сред­нем люди решат бро­сить кости. На­при­мер, 300 че­ло­век за­хо­чет бро­сить кость всего один раз, 400 че­ло­век  — два раза, 150  — три раза, 50  — че­ты­ре раза, а 100 че­ло­век  — боль­ше че­ты­рех раз. Зная такое ста­ти­сти­че­ское рас­пре­де­ле­ние, можно было бы найти ис­ко­мую ве­ро­ят­ность. Но оно не­из­вест­но.

Бла­го­да­рим Ев­ге­ния Обу­хо­ва из Вены, об­на­ру­жив­ше­го эту ошиб­ку. Мы со­об­щи­ли о ней ав­то­рам за­да­ния и ис­пра­ви­ли фор­му­ли­ров­ку.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­мов, по­лу­ча­ем:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Убы­ва­нию диф­фе­рен­ци­ру­е­мой функ­ции со­от­вет­ству­ют не­по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния её про­из­вод­ной. Про­из­вод­ная не­по­ло­жи­тель­на в точ­ках : точки лежат ниже оси абс­цисс, их ор­ди­на­ты от­ри­ца­тель­ны. Таких точек 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях силы тока в рамке раз­ме­ра рамки м, числа вит­ков про­во­да и ин­дук­ции маг­нит­но­го поля Тл:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. В пер­вый день Вера под­пи­са­ла от­кры­ток, во вто­рой  — …, в по­след­ний  — от­кры­ток. Всего было под­пи­са­но от­кры­ток. Если ко­ли­че­ство под­пи­сы­ва­е­мых от­кры­ток уве­ли­чи­ва­лось на d каж­дый день, то

Тогда

Сле­до­ва­тель­но, за чет­вер­тый день было под­пи­са­но 22 от­крыт­ки.

Ответ: 22.

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку от­ку­да Зна­чит, функ­ция f за­да­ет­ся фор­му­лой Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент a равен тан­ген­су угла на­кло­на пря­мой к оси абс­цисс, по­это­му По гра­фи­ку g(2)  =  1, тогда от­ку­да Зна­чит, урав­не­ние пря­мой имеет вид

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков этих функ­ций:

Таким об­ра­зом, абс­цис­са точки B равна −0,2. Ее ор­ди­на­та равна

Ответ: −10.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: −15.

Ре­ше­ние. а)  Вы­ра­же­ние, сто­я­щее под зна­ком корня либо равно нулю, либо боль­ше нуля. На по­ло­жи­тель­ный со­мно­жи­тель обе части урав­не­ния можно раз­де­лить:

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти. По­лу­ча­ем: и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть MF пря­мая па­рал­лель­ная пря­мой CL и F  — точка ее пе­ре­се­че­ния с AB. Не пиши как фи­ло­соф, пиши мак­си­маль­но по­нят­ны­ми и лег­ки­ми кон­струк­ци­я­ми. Понял, при­ни­маю. Уби­раю фи­ло­со­фию, пишу проще и ко­ро­че. Дер­жи­те ис­прав­лен­ный ва­ри­ант. Тогда плос­кость DMF па­рал­лель­на пря­мой CL по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти. От­ре­зок MF  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BCL, по­это­му Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Ис­ко­мый угол между пря­мы­ми DM и CL равен углу DMF. Обо­зна­чим угол DMF бук­вой  α. Вы­ра­зим квад­рат от­рез­ка DF по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в двух тре­уголь­ни­ках: DMF и BDF:

Тогда и Под­став­ляя чис­ло­вые дан­ные, по­лу­чим:

от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть решим ра­ци­о­наль­ное не­ра­вен­ство:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. При­мем объем бас­сей­на за 1. Пусть вна­ча­ле пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте t₁ ч, на­ли­ли бас­сей­на, далее все три трубы, ра­бо­тая вме­сте t₂ ч, на­ли­ли бас­сей­на. Тогда время на­пол­не­ния бас­сей­на

Най­дем, при каком V по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние наи­мень­ше­го зна­че­ния. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, пе­ре­се­ка­ю­щая ось абс­цисс в точ­ках 20 и ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз. Абс­цис­са вер­ши­ны этой па­ра­бо­лы равна Эта ве­ли­чи­на лежит в ин­тер­ва­ле (0; 10), а зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трех­чле­на на дан­ном ин­тер­ва­ле и до­сти­га­ет­ся при Оста­лось за­ме­тить, что наи­боль­шее зна­че­ние зна­ме­на­те­ля по­ло­жи­тель­но, по­это­му оно со­от­вет­ству­ет наи­мень­ше­му зна­че­нию

Ответ:

При­ме­ча­ние.

В общем слу­чае можно ис­сле­до­вать функ­цию при по­мо­щи про­из­вод­ной. Не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции на ин­тер­ва­ле (0; 10). Най­дем про­из­вод­ную:

Решим урав­не­ние ис­поль­зуя рав­но­силь­ность

Не­труд­но по­ка­зать, что это точка ми­ни­му­ма, в ко­то­рой функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть объем бас­сей­на равен A м³. Пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте t₁ ч, на­ли­ли м³ бас­сей­на, далее все три трубы, ра­бо­тая вме­сте t₂ ч, на­ли­ли м³ бас­сей­на. В ре­зуль­та­те бас­сейн был налит пол­но­стью.

Из­вест­но, что для любых двух по­ло­жи­тель­ных чисел t₁ и t₂ верно не­ра­вен­ство (не­ра­вен­ство Коши).

Рас­смот­рим про­из­ве­де­ние

Ясно, что зна­ме­на­тель по­лу­чен­ной дроби имеет наи­боль­шее зна­че­ние в точке А это зна­чит: имеет наи­мень­шее зна­че­ние в точке (зна­че­ние V при­над­ле­жит за­дан­но­му про­ме­жут­ку). Сле­до­ва­тель­но, вы­ра­же­ние также будет иметь ана­ло­гич­ное зна­че­ние в той же точке При этом

Итак, при по­лу­чим А это зна­чит, что в точке вы­ра­же­ние t₁ + t₂ также при­мет наи­мень­шее зна­че­ние.

Ре­ше­ние. а)  Угол AQP опи­ра­ет­ся на диа­метр AP боль­шей окруж­но­сти, по­это­му он пря­мой. Угол AMO опи­ра­ет­ся на диа­метр AO мень­шей окруж­но­сти, по­это­му он пря­мой. Таким об­ра­зом, пря­мые PQ и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой AQ, зна­чит, они па­рал­лель­ны.

б)  Углы AOC и APQ равны, по­сколь­ку пря­мые PQ и BC па­рал­лель­ны. Диа­метр BC боль­шей окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен хорде AQ. Зна­чит, точка C  — се­ре­ди­на дуги AQ. Сле­до­ва­тель­но, луч PC яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла APQ пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка APQ, по­это­му

Ответ: б)

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Рас­смот­рим два слу­чая.

Пусть тогда из не­ра­вен­ства

от­рез­ку при­над­ле­жат два числа и

Пусть тогда имеем:

В пер­вой серии не со­дер­жит­ся кор­ней, ле­жа­щих на от­рез­ке Среди кор­ней, со­дер­жа­щих­ся во вто­рой серии, от­рез­ку при­над­ле­жит одно число Под­став­ляя его в не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем: от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что тре­уголь­ник ту­по­уголь­ный тогда и толь­ко тогда, когда сумма квад­ра­тов длин его мень­ших сто­рон мень­ше квад­ра­та боль­шей сто­ро­ны.

а)  Да, на­при­мер в тре­уголь­ни­ке со сто­ро­на­ми 13, 7, 8 вы­пол­не­но и

б)  Нет. Пусть боль­шая сто­ро­на равна 8x, а мень­шая  — 7x. Тогда сред­няя не мень­ше 7x, но

в)  Пусть мень­шая сто­ро­на равна a, а боль­шая равна c. Тогда и нужно ми­ни­ми­зи­ро­вать Рас­смот­рим любую под­хо­дя­щую пару чисел и уве­ли­чим оба числа на еди­ни­цу. Тогда по-⁠преж­не­му (к пра­вой части при­ба­ви­ли а к левой  — ), (к обеим ча­стям при­ба­ви­ли по­ров­ну), а от­но­ше­ние умень­ши­лось (было стало ). По­это­му можно уве­ли­чи­вать a, пока оно не ста­нет равно 24.

Те­перь будем про­сто умень­шать c, пока это воз­мож­но, то есть пока Наи­мень­шее такое c  — это 35. По­это­му ответ

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  

Ком­мен­та­рий Сер­гея Ни­ко­ла­е­ва.

Ука­жем, как по­лу­чить оцен­ку из п. в) гео­мет­ри­че­ски. Пусть мень­шая сто­ро­на равна a, боль­шая равна c, а С  — угол, про­ти­во­ле­жа­щий сто­ро­не длины с. Из тео­ре­мы ко­си­ну­сов сле­ду­ет, что Из по­лу­чен­но­го со­от­но­ше­ния видно, что для лю­бо­го угла C (при фик­си­ро­ван­ной ве­ли­чи­не c) от­но­ше­ние c/a ми­ни­маль­но при мак­си­маль­ном воз­мож­ном a, то есть при a  =  24. Далее, так же как в при­ве­ден­ном выше ре­ше­нии, по­лу­ча­ем, что при любом фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии угла C ис­ко­мое от­но­ше­ние ми­ни­маль­но при c  =  35, а зна­чит, не за­ви­сит от угла C.