Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 800 тысяч руб­лей на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года (r  —  целое число);

—  с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

— в июле 2030 года долг дол­жен со­став­лять 200 тыс. руб.;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2035 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если общая сумма вы­плат по кре­ди­ту со­ста­ви­ла 1480 тыс. руб.

ИЛИ

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит раз­ме­ром A мил­ли­о­нов руб­лей на 24 ме­ся­ца. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца сумма долга воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2028 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно A, если общая сумма пла­те­жей в 2028 году со­ста­вит 17 925 тысяч руб­лей?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим для удоб­ства из­на­чаль­ную сумму кре­ди­та за S  =  800 тыс. руб. Пусть x  — по­сто­ян­ная сумма на ко­то­рую умень­ша­ет­ся долг каж­дый июль с 2026 по 2030 год, а y  — с 2031 по 2035 года. Тогда суммы долга в июле по годам с 2025 по 2035 со­ста­вят:

 S ,  S минус x,  S минус 2x,  S минус 3x,  S минус 4x,  S минус 5x=200,  S минус 5x минус y,  S минус 5x минус 2y,  S минус 5x минус 3y,  S минус 5x минус 4y,  S минус 5x минус 5y=0.

Из ра­вен­ства за 2030 год сле­ду­ет, что x  =  120 тыс. руб., а из по­след­не­го ра­вен­ства сле­ду­ет, что x + y  =  160 тыс. руб. от­ку­да y  =  40 тыс. руб.

Пусть k= дробь: чис­ли­тель: r \%, зна­ме­на­тель: 100 \% конец дроби , тогда про­цен­ты, на­чис­лен­ные с 2026 по 2035 год, со­ста­вят:

kS,  k левая круг­лая скоб­ка S минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 2y пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 3y пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 4y пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а вы­пла­ты в со­от­вет­ству­ю­щие годы будут:

kS плюс x,  k левая круг­лая скоб­ка S минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 2y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 3y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 4y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y.

Тогда сумма вы­плат яв­ля­ет­ся сум­мой двух раз­лич­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий по пять чле­нов в каж­дой, она равна:

 дробь: чис­ли­тель: kS плюс x плюс k левая круг­лая скоб­ка S минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5 плюс дробь: чис­ли­тель: k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y плюс k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 4y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5 = 1480 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 10kS плюс 5x минус 35kx плюс 5y минус 10yk = 1480 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 8000k плюс 600 минус 4200k плюс 200 минус 400k = 1480 рав­но­силь­но 3400k = 680 рав­но­силь­но k = 0,2 рав­но­силь­но r = 20.

Ответ: 20.

ИЛИ

Со­ста­вим гра­фик по­га­ше­ния кре­ди­та:

 

Номер ме­ся­цаДолгЧасть пла­те­жа в упла­ту долгаПро­цен­ты
1A дробь: чис­ли­тель: A, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби 0,03A
2 дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A  дробь: чис­ли­тель: A, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби 0,03 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A
............
13 дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A  дробь: чис­ли­тель: A, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби 0,03 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A
14 дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A  дробь: чис­ли­тель: A, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби 0,03 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A
............
24 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A  дробь: чис­ли­тель: A, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби 0,03 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A

 

Общая сумма пла­те­жей в 2028 году равна сумме пла­те­жей с 13 по 24 ме­ся­цы и со­став­ля­ет 17 925 тыс. руб. или 17,925 млн руб. Имеем:

12 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: A, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс 0,03 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A плюс 0,03 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A плюс \ldots плюс 0,03 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби A = 17,925 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби A плюс 0,03 A левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс \ldots плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 17,925 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби A плюс 0,03A умно­жить на дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 12 = 17,925 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 0,5A плюс 0,03A умно­жить на 3,25 = 17,925 рав­но­силь­но 0,5975A = 17,925 рав­но­силь­но A = 30.

Таким об­ра­зом, пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на сумму 30 млн руб.

 

Ответ: 30.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источники: