PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Даны векторы 
и 
Найдите длину вектора 
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Найдите корень уравнения 
Найдите 
если 
и 
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону 
где 
— начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
На рисунке изображены графики функций
и 
которые пересекаются в точках
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 
На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.
Решите неравенство: 
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
имеет единственный корень.
Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:
а) 99;
б) 101;
в) 100.
Следовательно,
Увеличение объема равно 19: 
Применим формулу приведения, а затем выразим синус через косинус. Имеем:
где x — текущая координата в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) скалярная проекция вектора скорости на 
при заданных значениях параметров 
мг
мин:
мин.
забора.
часов Игорь, Паша и Володя соответственно покрасят забор, работая самостоятельно. Игорь и Паша красят забор за 9 часов: 
часов: 
Тогда 
Теперь найдем абсциссу 
и 
Найдем их: 
отрезку 
принадлежит только корень 
б) 
получить уравнение и решить его разложением на множители: 
параллельна диагонали основания BD, поэтому пересекает основание ABCD по прямой KK1, параллельной BD, K1 лежит на CD. 
поэтому прямая сечения LL1 параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция 
как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах 
следовательно, 
Значит, 
Таким образом, 
следовательно, треугольник 
прямоугольный, 
Таким образом, 
в плоскости AA1C1C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как по доказанному в п. а) 
плоскость 
следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем 
Заметим, 
Таким образом, 
перпендикулярный плоскости 
Определим координаты точек, лежащих в этой плоскости: 
Подставим найденные координаты в уравнение плоскости 
получим:
не проходит через начало координат, поэтому можно положить D равным любому отличному от нуля числу. Пусть 
тогда 
Следовательно,
Следовательно, векторы 
и 
коллинеарные, а потому 
до плоскости 
определяется по формуле 
получаем:
поэтому 
Получаем: 
и 
Тогда
Тогда
то есть
Тогда 
и 
Окружность вписана в угол MPC, значит, PL — биссектриса треугольника DPN, который подобен треугольнику AMN. Используя свойство биссектрисы и подобия, находим:
Учитывая, что 
Тогда
Оттуда сразу следует, что 
при любом положении точки M. Действительно, 
а 
— угол между касательными и соответствующими им радиусами. Далее, PH — биссектриса 
— биссектриса 
Следовательно, 
тогда
тогда 
откуда 
Далее, 
Следовательно, 
поэтому получаем: если a = 0, то t > 0; если 
то 
Поскольку при a = 0 решением являются все положительные значения t, уравнение имеет единственное решение, если 
Следовательно, не из любого набора чисел можно выбрать несколько чисел, обладающих указанными свойствами.
и больше 
что и требуется (очевидно, 10 чисел есть, иначе их общая сумма не сможет превысить 110)