15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?
По формуле для переплаты П при выплате суммы кредита S дифференцированными платежами имеем:
где n — искомое число месяцев, а r = 3 — величина платежной ставка в процентах (см. Гущин Д. Д. «Встречи с финансовой математикой»; для получения полного балла доказательства этих формул необходимо приводить на экзамене). По условию переплата П равна 0,3S, тогда
откуда n = 19.
Приведем другое решение.
Пусть сумма кредита S выплачивается за n месяцев.
Долг уменьшается на 15-е число равномерно: 
Первого числа долг возрастает на 3%, значит, он составляет: 
Выплаты:
Сумма выплат будет равна
Тогда
Ответ: 19.
Если написать «По формуле для переплаты П при выплате суммы кредита S дифференцированными платежами имеем», не доказывая эту формулу, то сколько баллов поставят за задачу и зачтут ли её вообще?
До 2018 года не снижали оценку. Летом 2018 стали снимать один балл из трех за недостаточное обоснование.