Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра

Длина век­то­ра равна:

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Тре­бу­ет­ся найти объём пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ние и вы­со­та ко­то­рой сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и бо­ко­вым реб­ром дан­ной тре­уголь­ной приз­мы. По­это­му

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по ло­га­риф­мам, равна

Ответ: 0,55.

Ре­ше­ние. Най­дем ве­ро­ят­ность того, что пе­ре­го­рят три лампы. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равно про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,3·0,3·0,3  =  0,027.

Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что не пе­ре­го­рит хотя бы одна лампа  — про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,027  =  0,973.

Ответ: 0,973.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ку и ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла Имеем:

Ответ: -1.

Ре­ше­ние. На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции не­по­ло­жи­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке −3.

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. Най­дем, за какое время, про­шед­шее от мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, ав­то­мо­биль про­едет 90 мет­ров:

Зна­чит, через 9 се­кунд после на­ча­ла тор­мо­же­ния ав­то­мо­биль про­едет 90 мет­ров.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. За ми­ну­ту Маша про­па­лы­ва­ет одну два­дца­тую гряд­ки, а Маша с Дашей вме­сте  — одну две­на­дца­тую. По­это­му за одну ми­ну­ту Даша про­па­лы­ва­ет гряд­ки. Всю гряд­ку она про­по­лет за 30 минут.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку функ­ции опре­де­ля­ем, что то есть Зна­чит, Най­дем

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: 3,5.

Ре­ше­ние. а)  По фор­му­ле при­ве­де­ния: По фор­му­ле си­ну­са двой­но­го угла: Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид Вы­но­сим за скоб­ки и при­рав­ни­ва­ем оба мно­жи­те­ля к нулю:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пря­мые NL и MK пе­ре­се­ка­ют­ся, по­это­му они лежат в одной плос­ко­сти и, сле­до­ва­тель­но, точки K, L, M, N также лежат в одной плос­ко­сти и об­ра­зу­ют се­че­ние пи­ра­ми­ды KLMN. Пря­мая LK яв­ля­ет­ся пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей KLM и SAB и не па­рал­лель­на пря­мой BS. Пусть пря­мые LK и BS пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Точка F яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти KLM с пря­мой BS. За­ме­тим, что, таким об­ра­зом, плос­кость KLM не па­рал­лель­на пря­мой BS. Пря­мая MN яв­ля­ет­ся пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей KLM и SBC. MN лежит в KLM, по­это­му пе­ре­се­ка­ет­ся с BS в общей точке пря­мой BS и плос­ко­сти KLM, то есть в точке F, сле­до­ва­тель­но, это общая точка трех пря­мых LK, MN и BS.

б)  Рас­смот­рим тре­уголь­ник SAB и пря­мую KF, по тео­ре­ме Ме­не­лая:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник SBC и пря­мую NF, по тео­ре­ме Ме­не­лая:

Ответ: б) 1 : 4.

Ре­ше­ние. Пусть и Под­ста­вим:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной. По­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна S руб­лей, а еже­год­ная вы­пла­та равна x руб­лей. Каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25%, то есть в раз. За­пол­ним таб­ли­цу.

Год (номер года)	Долг в ян­ва­ре, руб.	Вы­плат, руб.	Долг в июле, в руб.
2023			S
2024 (1)	kS	x
2025 (2)		x
2026 (3)		x

Вы­ра­зим S:

Тогда, учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем:

Сумма вы­плат на 65 500 руб­лей боль­ше суммы, взя­той в кре­дит. Зна­чит, от­ку­да Под­ста­вив это зна­че­ние, по­лу­ча­ем урав­не­ние:

Ответ: 122 000.

Ре­ше­ние. а)  Дуги, стя­ги­ва­е­мые рав­ны­ми хор­да­ми, равны, по­это­му равны углы BAC и DCE и BCA и DEC (см. рис. 1). В тре­уголь­ни­ке сумма углов 180°, а зна­чит, углы ABC и CDE также равны. Тогда тре­уголь­ни­ки ABC и CDE равны по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков. Сле­до­ва­тель­но,

б)  Пусть AD пе­ре­се­ка­ет­ся с BE в точке M (см. рис. 2). Дуги, стя­ги­ва­е­мые рав­ны­ми хор­да­ми, равны, по­это­му углы DCE и BEC равны. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая CD па­рал­лель­на пря­мой BE. Ана­ло­гич­но пря­мая BC па­рал­лель­на пря­мой AD. Зна­чит, BCDM  — па­рал­ле­ло­грамм, а по­то­му и По свой­ству пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд по­лу­ча­ем:

от­ку­да Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)  

Ре­ше­ние. За­пи­шем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы в виде: его гра­фи­ком яв­ля­ют­ся две па­ра­бо­лы, сим­мет­рич­ные от­но­си­тель­но оси абс­цисс, с об­щи­ми точ­ка­ми (0; 0) и (2; 0).

Найдём такие a, при ко­то­рых пря­мая y  =  a – x яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку Решим со­от­вет­ству­ю­щее урав­не­ние и найдём нуль дис­кри­ми­нан­та:

Дис­кри­ми­нант он равен нулю при от­ку­да

Ана­ло­гич­но найдём такие a, при ко­то­рых пря­мая y  =  a – x яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку

Дис­кри­ми­нант он равен нулю при от­ку­да

Если то у пря­мой y  =  a – x нет общих точек с гра­фи­ком а с гра­фи­ком   — две общие точки.

Если то у пря­мой y  =  a – x одна общая точка с гра­фи­ком но эта же точка яв­ля­ет­ся точ­кой внут­рен­ней об­ла­сти гра­фи­ка зна­чит, будет 3 общих точки.

Если то пря­мая y  =  a – x пе­ре­се­ка­ет каж­дую па­ра­бо­лу в двух точ­ках, ко­то­рые не могут сов­пасть пол­но­стью, так как это про­ис­хо­дит в точ­ках (0; 0) и (2; 0), по­это­му будет ми­ни­мум 3 ре­ше­ния.

Если то у пря­мой y  =  a – x одна общая точка с гра­фи­ком но эта же точка яв­ля­ет­ся точ­кой внут­рен­ней об­ла­сти гра­фи­ка зна­чит, будет 3 общих точки.

Если то у пря­мой y  =  a – x нет общих точек с гра­фи­ком а с гра­фи­ком   — две общие точки.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно два ре­ше­ния при

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пе­ре­пи­шем вто­рое урав­не­ние: то есть не­об­хо­ди­мо, чтобы урав­не­ние имело равно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Дис­кри­ми­нант урав­не­ния (1) равен его корни дис­кри­ми­нант урав­не­ния (2) равен его корни

Рас­смот­рим все воз­мож­ные зна­че­ния дис­кри­ми­нан­тов.

1)  Пер­вое урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, вто­рое имеет два раз­лич­ных, то есть

2)  Пер­вое урав­не­ние имеет одно ре­ше­ние, вто­рое имеет два раз­лич­ных, одно из ко­то­рых сов­па­да­ет с ре­ше­ни­ем пер­во­го, то есть зна­чит, от­ку­да Не­об­хо­ди­мо, чтобы

что ложно.

3)  Оба урав­не­ния имеют по два ре­ше­ния, ко­то­рые по­пар­но сов­па­да­ют, то есть x₁  =  x₃, x₂  =  x₄:

Те­перь решим урав­не­ние ра­вен­ства кор­ней:

При a  =  2 x₁  =  2, x₂  =  −1, x₃  =  2, x₄  =  1  — три раз­лич­ных ре­ше­ния.

При a  =  0 x₁  =  1, x₂  =  0, x₃  =  3, x₄  =  0  — три раз­лич­ных ре­ше­ния.

4)  Пер­вое урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, а вто­рое имеет два сов­па­да­ю­щих, то есть   — не под­хо­дит.

5)  Оба урав­не­ния имеют по два сов­па­да­ю­щих ре­ше­ния, при этом раз­лич­ных между собой, то есть

Этот слу­чай нам не под­хо­дит.

6)  Вто­рое урав­не­ние имеет одно ре­ше­ние, пер­вое имеет два раз­лич­ных, одно из ко­то­рых сов­па­да­ет с ре­ше­ни­ем вто­ро­го, то есть зна­чит, от­ку­да Не­об­хо­ди­мо, чтобы

что ложно.

7)  Оба урав­не­ния не имеют ре­ше­ний, то есть   — не под­хо­дит.

8)  Вто­рое урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, а пер­вое имеет два сов­па­да­ю­щих, то есть   — не под­хо­дит.

9)  Вто­рое урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, пер­вое имеет два раз­лич­ных, то есть

Итак, усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко слу­чаи 1) и 9), от­ку­да по­лу­ча­ем, что ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет два раз­лич­ных ре­ше­ния при

Ре­ше­ние. По­сколь­ку можно найти 60% кон­тей­не­ров, общее число кон­тей­не­ров долж­но быть крат­но 5. Пусть оно равно 5x, тогда 3x из них со­дер­жат са­хар­ный песок.

а)  Да. Пусть есть 4 кон­тей­не­ра по 20 тонн и один 40 тонн, при этом са­хар­ным пес­ком за­пол­не­ны три кон­тей­не­ра по 20 тонн. Это дает 60 тонн, то есть ровно 50% от

б)  За­ме­ним все кон­тей­не­ры с са­хар­ным пес­ком на два­дца­ти­тон­ные, а все осталь­ные  — на со­ро­ка­тон­ные. От этого доля са­хар­но­го песка среди всего груза толь­ко умень­шит­ся. Но даже те­перь она со­ста­вит лишь

в)  Те­перь на­о­бо­рот, за­ме­ним все кон­тей­не­ры с са­хар­ным пес­ком на со­ро­ка­тон­ные, а все осталь­ные  — на два­дца­ти­тон­ные. От этого доля са­хар­но­го песка среди всего груза толь­ко уве­ли­чит­ся, зна­чит, этот ва­ри­ант самый вы­год­ный. В нем по­лу­ча­ем, что доля са­хар­но­го песка равна

то есть 75%. Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, для трех кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком по 40 тонн и двух дру­гих кон­тей­не­ров по 20 тонн.

Ответ: a)  да, может; б)  нет, не может в)  75%.