В че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­са­на окруж­ность, AB  =  22, CD  =  77. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD.

Даны век­то­ры Най­ди­те длину век­то­ра

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 20. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 20 би­ле­тов, в 7 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме "Про­из­вод­ная". Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме "Про­из­вод­ная".

Би­ат­ло­нист 3 раза стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые 2 раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ний раз про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки −1, 1, 2, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­мень­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

В те­ле­ви­зо­ре ёмкость вы­со­ко­вольт­но­го кон­ден­са­то­ра  Ф. Па­рал­лель­но с кон­ден­са­то­ром под­ключeн ре­зи­стор с со­про­тив­ле­ни­ем  Ом. Во время ра­бо­ты те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре  кВ. После вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре убы­ва­ет до зна­че­ния U (кВ) за время, опре­де­ля­е­мое вы­ра­же­ни­ем (с), где   — по­сто­ян­ная. Опре­де­ли­те (в ки­ло­воль­тах), наи­боль­шее воз­мож­ное на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре, если после вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра про­шло 28 с. Ответ дайте в ки­ло­воль­тах.

Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да А в город В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 154 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но со ско­ро­стью на 3 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 3 часа. В ре­зуль­та­те он за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из А в В. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S точка M  — се­ре­ди­на SD, точка K  — се­ре­ди­на SA.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BK и CM лежат в одной плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды MABF, если угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равен 60° и AB  =  4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2028 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 10 млн руб­лей на 4 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг дол­жен быть на 20% мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  в июле 2032 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Из­вест­но, что общая сумма вы­плат по кре­ди­ту со­ста­ви­ла 12,952 млн руб­лей. Най­ди­те r.

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся ка­те­тов AC, BC и ги­по­те­ну­зы AB в точ­ках M, E и K со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок EH  — пер­пен­ди­ку­ляр из точки E на пря­мую MK.

а)  До­ка­жи­те, что EK ∥ CH.

б)  Из­вест­но, что AC  =  12, BC  =  5. Найти от­но­ше­ние CH к EK.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно 2 ре­ше­ния.

На столе лежит стоп­ка из крас­ных и синих карт, на каж­дой из ко­то­рых на­пи­са­но целое число, боль­шее −30. При этом числа на кар­тах од­но­го цвета раз­лич­ны. Числа на всех синих кар­тах де­лят­ся на 5, а на всех крас­ных  — на 3. Из­вест­но, что самое боль­шое число на крас­ной карте равно утро­ен­но­му ко­ли­че­ству синих карт, а самое боль­шое число на синей карте равно ко­ли­че­ству крас­ных карт.

а)  Может ли ко­ли­че­ство синих карт быть рав­ным 1?

б)  Может ли ко­ли­че­ство синих карт быть рав­ным 40?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство синих карт может быть на столе?