Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 68.

Ре­ше­ние. Всего вы­сту­па­ет 20 спортс­ме­нов, среди ко­то­рых 7 спортс­ме­нов из Гер­ма­нии, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что две­на­дца­тым будет вы­сту­пать спортс­мен из Гер­ма­нии равна 0,35.

Ответ: 0,35.

Ре­ше­ние. В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда AB + CD  =  BC + AD. Тогда

Ответ: 54.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 28.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­ты обеих ча­стей приз­мы оди­на­ко­вы, по­это­му объем от­се­чен­ной части в 4 раза мень­ше объ­е­ма целой приз­мы. Тем самым, он равен 21.

Ответ: 21.

Ре­ше­ние. Про­из­вод­ная изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции f(x) равна нулю в точке экс­тре­му­ма: −2.

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния м/с при из­вест­ных зна­че­ни­ях   — ско­ро­сти звука в воде и   — ча­сто­ты ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов:

Ответ: 301.

Ре­ше­ние. Пусть кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты  — c₁, а кон­цен­тра­ция вто­ро­го  — c₂. Если сме­шать эти рас­тво­ры кис­ло­ты, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 30% кис­ло­ты: Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 36% кис­ло­ты: Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

Так, как кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты  —  0,1, в пер­вом со­су­де со­дер­жит­ся 10 про­цен­тов кис­ло­ты.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку, f(−2)  =  −4, тогда Зна­чит, ги­пер­бо­ла имеет вид

За­ме­тим, что a  — тан­генс угла на­кло­на пря­мой по от­но­ше­нию к оси абс­цисс, тогда По гра­фи­ку, g(−2)  =  −4, тогда

Зна­чит, функ­ция пря­мой имеет вид Те­перь найдём абс­цис­су точки B:

Таким об­ра­зом, ответ  — 8.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Си­ту­а­ция, при ко­то­рой ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на, может сло­жить­ся в ре­зуль­та­те сле­ду­ю­щих со­бы­тий: ба­та­рей­ка дей­стви­тель­но не­ис­прав­на и за­бра­ко­ва­на спра­вед­ли­во или ба­та­рей­ка ис­прав­на, но по ошиб­ке за­бра­ко­ва­на. По фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти, ве­ро­ят­но­сти этих со­бы­тий равны со­от­вет­ствен­но и

Со­бы­тия быть не­ис­прав­ной ба­та­рей­кой или быть ис­прав­ной об­ра­зу­ют пол­ную груп­пу (они не­сов­мест­ны и одно из них не­пре­мен­но про­ис­хо­дит), по­это­му можно при­ме­нить фор­му­лу пол­ной ве­ро­ят­но­сти. По­лу­чим:

Ответ: 0,059.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: −83.

Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

б)  С по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти отберём корни на от­рез­ке На­хо­дим:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са. Тогда сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABS рав­но­сто­рон­ний. Пусть его сто­ро­на равна a, зна­чит,

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­кам ASC и BSC, по­лу­чим:

Впи­сан­ный угол ACB опи­ра­ет­ся на диа­метр, по­это­му он равен 90°. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный, и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Под­став­ляя длины сто­рон, вы­ра­жен­ные через a, по­лу­ча­ем:

Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из усло­вий поль­зу­ясь преды­ду­щим пунк­том, на­хо­дим:

Най­дем пло­щадь ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии тет­ра­эд­ра тре­уголь­ни­ка ABC:

От­ре­зок SO  — вы­со­та тет­ра­эд­ра  — вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ASB, от­ку­да Найдём объем тет­ра­эд­ра:

Ответ: б)

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са. Тогда сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABS рав­но­сто­рон­ний. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

За­ме­тим, что, по­сколь­ку угол ACB опи­ра­ет­ся на диа­метр, он равен 90°. Тогда Тогда

б)  По усло­вию тогда от­ку­да Далее,

От­ре­зок SO  — вы­со­та тет­ра­эд­ра, Окон­ча­тель­но найдём объем тет­ра­эд­ра:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Под­ста­вим:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. За 15 ме­ся­цев долг дол­жен умень­шит­ся на  тыс. руб. Зна­чит, еже­ме­сяч­ное умень­ше­ние долга долж­но со­став­лять  тыс. руб. По усло­вию долг перед бан­ком (в тыс. руб­лей) по со­сто­я­нию на 15-⁠е число дол­жен умень­шать­ся до нуля сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r %. Пусть тогда по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в тыс. руб­лей) по со­сто­я­нию на 1-е число та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в тыс. руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

Всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. а)  Пусть AM  =  2x, MB  =  3x, BN  =  3y, NC  =  2y. Тогда тре­уголь­ни­ки ABC и MBN по­доб­ны, и пря­мые MN и AC па­рал­лель­ны. По­сколь­ку MN  =  3t, AC  =  5t. По свой­ству опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка,

тогда

От­сю­да Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть P  — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной AC, O  — центр окруж­но­сти. Тогда пря­мые OK и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые OP и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые MN и AC па­рал­лель­ны. Тогда точки K, O и P лежат на одной пря­мой, и AMKP  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Пусть AP  =  x. За­ме­тим, что

от­ку­да PC  =  8 − x. Тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Из дру­гой пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции по­лу­ча­ем, что

От­сю­да тогда ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, равен 3.

Ответ: б) 3.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Ивана Ива­но­ва.

Тре­уголь­ни­ки ABC и MBN по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия тогда тогда:

Пусть F  — точка ка­са­ния окруж­но­сти и сто­ро­ны AB, E  — точка ка­са­ния окруж­но­сти и сто­ро­ны CB, тогда От­рез­ки BF и BE равны как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки, сле­до­ва­тель­но,

По до­ка­зан­но­му в пунк­те а) Решая си­сте­му урав­не­ний, по­лу­чим AB  =  17, BC  =  15.

Для тре­уголь­ни­ка ABC вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство сле­до­ва­тель­но, он пря­мо­уголь­ный, и его пло­щадь равна С дру­гой сто­ро­ны, тогда

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда гра­фи­ки функ­ций и и пря­мая имеют с пря­мой три раз­лич­ных точки пе­ре­се­че­ния на об­ла­сти (см. рис.).

Из ри­сун­ка видно, что при одно ре­ше­ние, при три ре­ше­ния, при два ре­ше­ния, при одно ре­ше­ние.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да. На­при­мер,

б)  Нет. По­сколь­ку 126 крат­но 9, среди сла­га­е­мых была дробь со зна­ме­на­те­лем 9. Зна­чит, по­след­ние цифры у чисел были равны 6, 7, 8, 9. Пусть это были 10x + 6, 10x + 7, 10x + 8, 10x + 9, тогда

от­ку­да

в)  Если у чисел по­след­ни­ми циф­ра­ми были 1, 2, 3, 4, то сумма по­лу­чит­ся

Зна­чит, нужно вы­брать наи­боль­шее дву­знач­ное x, крат­ное 6. Это 96, что дает сумму

Если же по­след­ние цифры какие-то дру­гие, то каж­дое сла­га­е­мое не пре­вос­хо­дит и общая сумма не пре­вос­хо­дит

Ответ: а) да; б) нет; в) 2004.