Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 629176

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

а) Может ли S= целая часть: 16, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 6 ?

б) Может ли S= целая часть: 569, дробная часть: числитель: 29, знаменатель: 126 ?

в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Спрятать решение

Решение.

а)  Да. Например,

 дробь: числитель: 12, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 14, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: 5 конец дроби =6 плюс целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 плюс целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс 3= целая часть: 16, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 6 .

б)  Нет. Поскольку 126 кратно 9, среди слагаемых была дробь со знаменателем 9. Значит, последние цифры у чисел были равны 6, 7, 8, 9. Пусть это были 10x + 6, 10x + 7, 10x + 8, 10x + 9, тогда

 целая часть: 569, дробная часть: числитель: 29, знаменатель: 126 = дробь: числитель: 10x плюс 6, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 10x плюс 7, знаменатель: 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 10x плюс 8, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 10x плюс 9, знаменатель: 9 конец дроби =

= дробь: числитель: 10x, знаменатель: 6 конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 10x, знаменатель: 7 конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 10x, знаменатель: 8 конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 10x, знаменатель: 9 конец дроби плюс 1= 4 плюс 10x левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка =4 плюс 10x умножить на дробь: числитель: 275, знаменатель: 504 конец дроби ,

откуда

 целая часть: 565, дробная часть: числитель: 29, знаменатель: 126 =10x умножить на дробь: числитель: 275, знаменатель: 504 конец дроби , x= дробь: числитель: 142 438, знаменатель: 1375 конец дроби \not принадлежит Z .

в)  Если у чисел последними цифрами были 1, 2, 3, 4, то сумма получится

 дробь: числитель: 10x плюс 1, знаменатель: 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 10x плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 10x плюс 3, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 10x плюс 4, знаменатель: 4 конец дроби =

=10x плюс 1 плюс 5x плюс 1 плюс 3x плюс 1 плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2x плюс 1 плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =20x плюс 4 плюс дробь: числитель: 5x, знаменатель: 6 конец дроби .

Значит, нужно выбрать наибольшее двузначное x, кратное 6. Это 96, что дает сумму

 дробь: числитель: 961, знаменатель: 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 962, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 963, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 964, знаменатель: 4 конец дроби =20 умножить на 96 плюс 4 плюс 96 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби =1920 плюс 4 плюс 80=2004.

Если же последние цифры какие-то другие, то каждое слагаемое не превосходит  дробь: числитель: 1000, знаменатель: 2 конец дроби =500, и общая сумма не превосходит 500 умножить на 4=2000.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 2004.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а);

— обоснованное решение пункта б);

— искомая оценка в пункте в);

— пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 628041: 629176 Все

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. ФИПИ. Вариант 4
Классификатор алгебры: Числа и их свойства