PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Павел Иванович купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 50 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
На рисунке точками показана месячная аудитория поискового сайта Ya.ru во все месяцы с декабря 2008 года по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество человек, посетивших сайт хотя бы раз за данный месяц. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую месячную аудиторию сайта Ya.ru в период с декабря 2008 года по апрель 2009 года.
Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4; 2), (8; 4), (6; 8), (2; 6).
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решите уравнение: 
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция
— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Найдите 
если 
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 
Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление 
этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями 
и 
их общее сопротивление даeтся формулой 
а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.
Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.
а) Докажите, что AD = BC.
б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.
Решите неравенство 
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде 
где числа 
— целые, 
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде 
где числа — целые, 
ровно 130 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде где числа — целые, ровно 130 способами?
тогда площадь квадрата 
тогда 
и 
Поскольку
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции 
оси абсцисс. Имеем:
длины стороны. Поэтому объем описанного конуса в 
находим, что 
и подставляем в дробь:
при известном значении сопротивления приборов 
:
км/ч — скорость второго пешехода, тогда скорость первого — 
км/ч.
часа,
минут.
принадлежит только одно число: 
б) 
мы воспользовались приемом, называемым введением вспомогательного угла. Можно было бы использовать известное соотношение 
Третий путь — свести уравнение к однородному неполному тригонометрическому уравнению второй степени, используя формулы двойных углов. А именно:
либо 
Последнее уравнение — однородное тригонометрическое первой степени, оно эквивалентно уравнению 
Осталось решить полученные простейшие уравнения и отбросить корни, не лежащие в ОДЗ.
представлен на рисунке. Уравнению (1) соответствуют точки пересечения зеленой пунктирной прямой и единичной окружности. Условие (2) убирает из решения точки, отмеченные красными крестами. Таким образом, решением системы является 
следовательно, AD = BC.
В треугольнике AMB имеем 
откуда 
и 
тогда неравенство примет вид:
получим: 
откуда 
получим: 
откуда 
получим: 
откуда 
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
В соответствии с этим обозначением и условием задачи заполним таблицу.
Таким образом, ежемесячно остаток долга возрастал на 7%.
тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:
имеет с горизонтальными прямыми 
и 
ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если 
уравнение не имеет решений. Если 
то при 
а если 
то при 
имеем:
функция f является возрастающей, а при 
— убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке. 
откуда 
при 
откуда 
или 
в зависимости от a и 
При 
и 
левая часть определена и принимает вид
выражение 
принимает по одному все значения из промежутка 
для 
для 
Значит, при 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
при 
при 
и не имеет решений при 
и 
При 
уравнение принимает вид 
и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
и/или 
или 
; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки 
однозначно представляется в виде 
где 
и 
Значит, для каждого представления некоторого числа N в виде 
имеет место единственное представление N в виде 
где 
и 
— произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число N в виде 
в качестве n можно взять любое целое число от 0 до 129. При этом 
определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 130.
где l — цифра единиц числа m, а k — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:
где n — некоторое целое число от 0 до 9999, а k — некоторое целое число от 0 до 999.
и 
таковы, что 
— наименьшее возможное n, а 
— наибольшее возможное 
Тогда 
или 
иначе бы было представление 
Аналогично 
или 
такого, что 
имеется представление 
поскольку 
Таким образом, количество представлений равно 
Если 
или 
то представлений больше. Значит, или 
или 
где l — произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.