По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра длина ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии По­сколь­ку ги­по­те­ну­за яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ци­лин­дра, его объем

Ответ: 8,5.

Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту, а объем ко­ну­са равен одной трети про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. По­сколь­ку они имеют общее ос­но­ва­ние и вы­со­ту, объем ци­лин­дра в три раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са.

Ответ: 75.

Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту, а объем ко­ну­са равен одной трети про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. По­сколь­ку они имеют общее ос­но­ва­ние и вы­со­ту, объем ци­лин­дра в три раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са.

Ответ: 126.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра длина ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии По­сколь­ку ги­по­те­ну­за яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ци­лин­дра, его объем равен

Ответ: 125.

Диа­го­наль квад­ра­та, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии приз­мы, яв­ля­ет­ся диа­мет­ром опи­сан­но­го во­круг приз­мы ци­лин­дра. Тогда объем ци­лин­дра равен

Ответ: 4.

Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту, а объем ко­ну­са равен одной трети про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. По­сколь­ку они имеют общее ос­но­ва­ние и вы­со­ту, объем ци­лин­дра в три раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са.

Ответ: 75.

Объем ко­ну­са равен

где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та ко­ну­са. Объем ци­лин­дра равен  и по­это­му он в 3 раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са. Таким об­ра­зом, объем ко­ну­са равен 50.

Ответ: 50.

Квад­рат, ле­жа­щий в ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, впи­сан в окруж­ность, яв­ля­ю­щу­ю­ся ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са. По­это­му ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са r равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли квад­ра­та ABCD:  Тогда для объ­е­ма ко­ну­са, де­лен­но­го на имеем:

Ответ: 16.

Объ­е­мы дан­ных ко­ну­сов со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний и, сле­до­ва­тель­но, как квад­ра­ты их диа­мет­ров. Диа­метр впи­сан­но­го ко­ну­са равен сто­ро­не квад­ра­та, диа­метр опи­сан­но­го  — диа­го­на­ли квад­ра­та, длина ко­то­рой равна   длины сто­ро­ны. По­это­му объем опи­сан­но­го ко­ну­са в 2 раза боль­ше объ­е­ма впи­сан­но­го.

Ответ: 2.

Ра­ди­ус впи­сан­но­го в куб шара равен по­ло­ви­не длины ребра куба: Тогда объем шара равен

Ответ: 4,5.

Пусть длина ребра куба равна а, а его диа­го­наль равна d. Ра­ди­ус опи­сан­но­го шара R равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли куба:

По­это­му объем шара равен

Тогда объем шара, де­лен­ный на π, равен

Ответ: 4,5.

Диа­го­наль квад­ра­та, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии приз­мы яв­ля­ет­ся диа­мет­ром опи­сан­но­го во­круг приз­мы ци­лин­дра. Тогда его объем:

Ответ: 10.

Объем ко­ну­са равен

где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та ко­ну­са. Объем ци­лин­дра равен  по­это­му он в 3 раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са. Тем самым, объем ко­ну­са равен 38.

Ответ: 38.

Объем ко­ну­са равен

где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та ко­ну­са. Объем ци­лин­дра равен  и, как видно, в 3 раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са. По­это­му объем ко­ну­са равен 46.

Ответ: 46.

Квад­рат, ле­жа­щий в ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, впи­сан в окруж­ность, яв­ля­ю­щу­ю­ся ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са. По­это­му ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са r равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли квад­ра­та ABCD: Тогда для объ­е­ма ко­ну­са, де­лен­но­го на имеем:

Ответ: 7,5.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са r равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли квад­ра­та ABCD:  Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на π:

Ответ: 19,5.

Ра­ди­ус впи­сан­но­го в куб шара равен по­ло­ви­не длины ребра куба: Тогда объем шара

Ответ: 1543,5.

Пусть длина ребра куба равна а, а его диа­го­наль равна d. Ра­ди­ус опи­сан­но­го шара R равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли куба:

По­это­му объем шара равен

Ответ: 3280,5.

Объем ци­лин­дра равен

а объем шара можно найти по фор­му­ле

Вы­ра­зим из фор­му­лы для объёма ци­лин­дра и под­ста­вим в фор­му­лу для объёма шара

Ответ: 22.

Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна пло­ща­ди боль­шо­го круга впи­сан­но­го шара, а вы­со­та ци­лин­дра равна диа­мет­ру впи­сан­но­го шара. По­это­му

Ответ: 36.