Сто­и­мость про­ез­да в марш­рут­ном такси со­став­ля­ет 20 руб. Какое наи­боль­шее число по­ез­док можно будет со­вер­шить в этом марш­рут­ном такси на 150 руб., если цена про­ез­да сни­зит­ся на 10%?

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но из­ме­не­ние бир­же­вой сто­и­мо­сти акций горно-обо­га­ти­тель­но­го ком­би­на­та во вто­рой по­ло­ви­не ок­тяб­ря. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — сто­и­мость акции в руб­лях. 18 ок­тяб­ря биз­не­смен при­обрёл 480 акций этого ком­би­на­та. Треть своих акций он про­дал 25 ок­тяб­ря, а остав­ши­е­ся акции  — 27 ок­тяб­ря. Сколь­ко руб­лей со­ста­ви­ла при­быль биз­не­сме­на в ре­зуль­та­те этих опе­ра­ций?

В зда­нии тре­бу­ет­ся уста­но­вить 8 новых ме­тал­ло­пла­сти­ко­вых окон. В таб­ли­це при­ве­де­на ин­фор­ма­ция о рас­цен­ках трёх фирм, одной из ко­то­рых пред­по­ла­га­ет­ся по­ру­чить вы­пол­не­ние этого за­ка­за. Ка­ко­ва сто­и­мость са­мо­го вы­год­но­го ва­ри­ан­та уста­нов­ки окон?

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ос­но­ва­ни­ем AB угол В равен 27°. Най­ди­те угол между сто­ро­ной АС и вы­со­той АН этого тре­уголь­ни­ка.

У Дины в ко­пил­ке лежит 7 рублёвых, 5 двух­рублёвых, 6 пя­ти­рублёвых и 2 де­ся­ти­рублёвых мо­не­ты. Дина на­у­гад достаёт из ко­пил­ки одну мо­не­ту. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что остав­ша­я­ся в ко­пил­ке сумма со­ста­вит менее 60 руб­лей.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке Най­ди­те

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y  =  −6.

Ци­линдр опи­сан около шара. Объем шара равен 24. Най­ди­те объем ци­лин­дра.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом α к плос­ко­сти го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­ле­та­ет мячик, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле (м), где υ₀ = 12 м/с  — на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а g  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те g = 10 м/с²). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла α (в гра­ду­сах) мячик пе­ре­ле­тит через реку ши­ри­ной 7,2 м?

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро равно 5, а тан­генс угла между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен Найти сто­ро­ну ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Иг­раль­ный кубик бро­са­ют до тех пор, пока ше­стер­ка не вы­па­дет два раза, не обя­за­тель­но под­ряд. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число сде­лан­ных брос­ков».

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [0,3; 3].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DA и BC, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку О  — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DA и BC. До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DA = 30, BC = 16.

В кин­дер-сюр­при­зах встре­ча­ют­ся иг­руш­ки из кол­лек­ции прин­цесс. Всего в кол­лек­ции 8 раз­ных прин­цесс, при­чем все они встре­ча­ют­ся в кин­дер-сюр­при­зах оди­на­ко­во часто. Среди прин­цесс есть Зо­луш­ка. Пер­во­класс­ни­ца по­ку­па­ет кин­дер-сюр­при­зы, а иг­руш­ки из них кла­дет в ящик стола. Сколь­ко будет куп­ле­но кин­дер-сюр­при­зов к мо­мен­ту, когда в столе ока­жут­ся две Зо­луш­ки? Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние этой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны.

Точка О  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку О от­ме­че­на точка K так, что

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник OBKC впи­сан­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KBC, если из­вест­но, что ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АBC равен 12, а

Кон­серв­ный завод вы­пус­ка­ет фрук­то­вые ком­по­ты в двух видах тары  — стек­лян­ной и же­стя­ной. Про­из­вод­ствен­ные мощ­но­сти за­во­да поз­во­ля­ют вы­пус­кать в день 90 цент­не­ров ком­по­тов в стек­лян­ной таре или 80 цент­не­ров в же­стя­ной таре. Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 20 цент­не­ров. В таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена за­во­да за 1 цент­нер про­дук­ции для обоих видов тары.

Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция за­во­да на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль за­во­да за один день (при­бы­лью на­зы­ва­ет­ся раз­ни­ца между от­пуск­ной сто­и­мо­стью всей про­дук­ции и её се­бе­сто­и­мо­стью).

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Пра­виль­ную иг­раль­ную кость бро­са­ют до тех пор, пока грани с 1, 2 и 3 оч­ка­ми не вы­па­дут хотя бы по од­но­му разу. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число сде­лан­ных брос­ков».