В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой BD₁.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да DABC с вер­ши­ной D. Бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно вы­со­та равна

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ны ребер BD, AC и AD, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны бо­ко­во­го ребра BD до пря­мой MT, где точки M и T  — се­ре­ди­ны ребер AC и AD со­от­вет­ствен­но.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что точки D₁, E и F₁ лежат на сфере с цен­тром в точке B.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой F₁E₁.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ной приз­ма ABCA₁B₁C₁

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α, про­хо­дя­щая через пря­мую AB₁ и центр грани ACC₁A₁, делит объем приз­мы в от­но­ше­нии 2 : 1.

б)  Пусть вы­со­та приз­мы равна 2, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B₁ до пря­мой AC₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ вы­со­та равна 1, а ребро ос­но­ва­ния равно 2.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды вдвое боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A₁ до пря­мой BC₁.

Длины ребер AB, AA₁ и AD пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равны со­от­вет­ствен­но 12, 16 и 15.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды A₁BDC₁ втрое мень­ше объ­е­ма па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A₁ до пря­мой BD₁.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром Точки М и Т  — се­ре­ди­ны ребер AD и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра B₁C₁ до пря­мой МТ.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 1, а бо­ко­вые рёбра равны 2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые SE и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой SA.

В тет­ра­эд­ре ABCD, все рёбра ко­то­ро­го равны 1, от­ме­ти­ли се­ре­ди­ну ребра CD  — точку E.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость ABE пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру CD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до пря­мой BE.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1, а бо­ко­вое ребро равно

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AS и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой SA.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ вы­со­та равна 2, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1.

а)  До­ка­жи­те, что точки A₁ и B рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти AB₁C₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B₁ до пря­мой AC₁.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го угол C равен 90°, угол A равен 30°, Диа­го­наль бо­ко­вой грани B₁C со­став­ля­ет угол 30° с плос­ко­стью AA₁B₁.

а)  CE  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка До­ка­жи­те, что угол пря­мой.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S, все рёбра ко­то­рой равны 4, точка N  — се­ре­ди­на ребра AC, точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка P делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая NP пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BS.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой NP.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Длина ребра куба равна 1.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны от­рез­ка BC₁ до плос­ко­сти AB₁D₁ равно рас­сто­я­нию се­ре­ди­ны от­рез­ка BC₁ до пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну от­рез­ка и вер­ши­ну

б)  Най­ди­те это рас­сто­я­ние.

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да MABCD, рёбра ос­но­ва­ния ко­то­рой равны Тан­генс угла между пря­мы­ми DM и AL равен L  — се­ре­ди­на ребра MB.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти ACL и MDB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те вы­со­ту дан­ной пи­ра­ми­ды.

Длины ребер AB, AA₁ и AD пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равны со­от­вет­ствен­но 12, 16 и 15.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от вер­ши­ны до пря­мой боль­ше, чем рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A₁ до пря­мой BD₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A₁ до пря­мой BD₁.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а бо­ко­вые ребра равны 4.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти и пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до пря­мой D₁E₁.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой E₁F₁.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да DABC с вер­ши­ной D. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна вы­со­та равна

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра BD и точки М и Т (се­ре­ди­ны ребер АС и AВ со­от­вет­ствен­но), яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны бо­ко­во­го ребра BD до пря­мой МТ.

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с вер­ши­ной S. Ребро ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равно вы­со­та  —

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ну ребра AD и точки M и T  — се­ре­ди­ны ребер CS и ВС со­от­вет­ствен­но, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра AD до пря­мой MT.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб ABCD, сто­ро­на ко­то­ро­го равна а угол ВАD равен 60°.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой C₁D₁, если из­вест­но, что бо­ко­вое ребро дан­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равно 8.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Пря­мые CA₁ и AB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что AA₁  =  AC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми CA₁ и AB₁, если AC  =  6, BC  =  3.

Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BQ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой B₁P.

б)  Пусть H  — про­ек­ция точки Q на пря­мую B₁P. Най­ди­те PH, если AB  =  12.

В пря­мом кру­го­вом ци­лин­дре про­ве­де­на об­ра­зу­ю­щая NN₁, точка N лежит в ниж­нем ос­но­ва­нии. От­ре­зок KM₁ пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра, а точки K и M₁ лежат на окруж­но­стях ниж­не­го и верх­не­го ос­но­ва­ния со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник KNM₁ пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки N до пря­мой KM₁, если KN  =  9, N₁M₁  =  20.

Точка O  — центр ос­но­ва­ния ABCDEF пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCDEF. Точки K, L, M, T  — се­ре­ди­ны от­рез­ков AF, SF, SD, MK со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точка T лежит на от­рез­ке LO.

б)  Най­ди­те CT, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 4, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 48.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром, рав­ным 6, на ребре AA₁ взята точка M так, что На ребре D₁C₁ взята точка N так, что

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MB₁ и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до пря­мой CN.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P, K, L  — се­ре­ди­ны ребер АА₁, A₁D₁, B₁C₁ со­от­вет­ствен­но, точка Q  — центр грани CC₁D₁D. От­ре­зок MN c кон­ца­ми на пря­мых AD и KL со­от­вет­ствен­но пе­ре­се­ка­ет пря­мую PQ и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей.

а)  До­ка­жи­те, что AM : MD  =  5 : 1.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если сто­ро­на куба равна 3.