Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 561448
i

В пря­мом кру­го­вом ци­лин­дре про­ве­де­на об­ра­зу­ю­щая NN1, точка N лежит в ниж­нем ос­но­ва­нии. От­ре­зок KM1 пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра, а точки K и M1 лежат на окруж­но­стях ниж­не­го и верх­не­го ос­но­ва­ния со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник KNM1 пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки N до пря­мой KM1, если KN  =  9, NN_1=20 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , N1M1  =  20.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Назовём ось ци­лин­дра OO1, про­ведём об­ра­зу­ю­щие MM1 и KK1. Тогда, по­сколь­ку KM1 пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра, ось ци­лин­дра лежит в плос­ко­сти KMM1K1. Таким об­ра­зом, KM  — диа­метр, и, зна­чит, угол KNM пря­мой. Тогда, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мая NM1 также пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой KN, а тре­уголь­ник KNM1 пря­мо­уголь­ный.

б)  Из точки N опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр NH на пря­мую KM1, ис­ко­мое рас­сто­я­ние  — длина этого пер­пен­ди­ку­ля­ра. Найдём её как вы­со­ту пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KNM1:

NM_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: N_1M_1 в квад­ра­те плюс NN_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =40,

KM_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: KN в квад­ра­те плюс NM_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =41,

от­ку­да

NH умно­жить на KM_1=KN умно­жить на NM_1 рав­но­силь­но NH= дробь: чис­ли­тель: KN умно­жить на NM_1, зна­ме­на­тель: KM_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 360, зна­ме­на­тель: 41 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 360, зна­ме­на­тель: 41 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 348
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей, Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой, Ци­линдр
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025