Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 510966
i

Длины ребер AB, AA1 и AD пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 равны со­от­вет­ствен­но 12, 16 и 15.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды A1BDC1 втрое мень­ше объ­е­ма па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A1 до пря­мой BD1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что

V_A_1ADB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на A_1A умно­жить на S_ADB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на 16 умно­жить на 15 умно­жить на 12 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби V_ABCDA_1B_1C_1D_1.

Пол­но­стью ана­ло­гич­но

V_C_1CBD = V_BA_1B_1C_1 = V_DA_1D_1C_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби V_ABCDA_1B_1C_1D_1.

Тогда

V_A_1BDC_1 = левая круг­лая скоб­ка 1 минус 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка V_ABCDA_1B_1C_1D_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби V_ABCDA_1B_1C_1D_1,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Опу­стим из точки A1 пер­пен­ди­ку­ляр A1E на пря­мую BD1. Так как ребро A1D1 пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти (A1AB), то ребро A1D1 пер­пен­ди­ку­ляр­но от­рез­ку A1B, а, зна­чит, от­ре­зок A1E  ― вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка A1BD1, от­ку­да

A_1E = дробь: чис­ли­тель: A_1B умно­жить на A_1D_1, зна­ме­на­тель: BD_1 конец дроби .

Далее на­хо­дим:

A_1B = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A_1A в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 20,

BD_1 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A_1A в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те плюс A_1D_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 25,

сле­до­ва­тель­но, A_1E = дробь: чис­ли­тель: 20 умно­жить на 15, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби = 12.

 

Ответ: б) 12.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке. Санкт-Пе­тер­бург 2013. Ва­ри­ант 1
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой, Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, Объем тела
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025