Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507490
i

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с реб­ром 2 ко­рень из 2 . Точки М и Т  — се­ре­ди­ны ребер AD и A1B1 со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что A_1C_1\perp MT.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра B1C1 до пря­мой МТ.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Про­ек­ция точки M на плос­кость A_1B_1C_1  — это се­ре­ди­на ребра A_1D_1. По­это­му про­ек­ция пря­мой MT на плос­кость A_1B_1C_1 па­рал­лель­на пря­мой B_1D_1 по тео­ре­ме о сред­ней линии. Зна­чит, она пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой A_1C_1, тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах и пря­мая MT пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой A_1C_1.

б)  Пусть P  — се­ре­ди­на ребра B_1C_1, а Q  — се­ре­ди­на ребра AA_1. За­ме­тим, что PMQT  — тра­пе­ция, по­сколь­ку QT\parallel B_1A\parallel PM.

 

По­лу­ча­ем:

TQ=QM=PT= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби B_1A= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та AB= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2.

За­ме­тим, что MP=4. Про­длим пря­мые MQ и PT и обо­зна­чим точку их пе­ре­се­че­ния N. В тре­уголь­ни­ке MNP QT||MP, QT= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MP, зна­чит, QT яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей, и T  — се­ре­ди­на NP. Тре­уголь­ник MNP пра­виль­ный. MT  — ме­ди­а­на и вы­со­та. Зна­чит, PT  — пер­пен­ди­ку­ляр к MT и ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно PT=2.

 

Ответ: 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Куб, По­стро­е­ния в про­стран­стве, Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026