Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507794
i

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го угол C равен 90°, угол A равен 30°, AC=10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Диа­го­наль бо­ко­вой грани B1C со­став­ля­ет угол 30° с плос­ко­стью AA1B1.

а)  CE  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. До­ка­жи­те, что угол B_1EC пря­мой.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. CE  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти ABA_1, по­это­му, по опре­де­ле­нию, CE пер­пен­ди­ку­ля­рен всем пря­мым в этой плос­ко­сти, в том числе и пря­мой B_1E.

б)  По опре­де­ле­нию, угол между пря­мой и плос­ко­стью  — это угол между пря­мой и её про­ек­ци­ей на плос­кость. B_1E  — про­ек­ция пря­мой B_1C на плос­кость AA_1B_1, сле­до­ва­тель­но, угол CB_1E  — угол между на­клон­ной CB_1 и плос­ко­стью AA_1B_1, зна­чит, этот угол равен 30°. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC:

BC=AC тан­генс \angle BAC=10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =10.

Углы BAC и BCE равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BEC на­хо­дим:

BE=BC синус \angle BCE=10 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =5,CE=BC ко­си­нус \angle BCE=10 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Обо­зна­чим ис­ко­мое рас­сто­я­ние x. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BB_1C по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: CB_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 100 конец ар­гу­мен­та . Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BB_1E по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: B_1E= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 25 конец ар­гу­мен­та . При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка B_1CE: EC в квад­ра­те =CB_1 в квад­ра­те плюс B_1E в квад­ра­те минус 2 умно­жить на B_1E умно­жить на CB_1 ко­си­нус \angle CB_1E, тогда

75=x в квад­ра­те плюс 100 плюс x в квад­ра­те плюс 25 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 100 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 25 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 100 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 25 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та =2x в квад­ра­те плюс 50 рав­но­силь­но 3 левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни 4 плюс 125x в квад­ра­те плюс 2500 пра­вая круг­лая скоб­ка =4x в сте­пе­ни 4 плюс 200x в квад­ра­те плюс 2500 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но x в сте­пе­ни 4 минус 175x в квад­ра­те минус 5000=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x в квад­ра­те =200, новая стро­ка x в квад­ра­те = минус 25 конец со­во­куп­но­сти рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x=10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка x= минус 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти

По смыс­лу за­да­чи под­хо­дит толь­ко ко­рень 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

При­ме­ча­ние.

Можно за­ме­тить, что тре­уголь­ник B1EC пря­мо­уголь­ный: пря­мая CE пер­пен­ди­ку­ляр­на BЕ, BЕ  — про­ек­ция на­клон­ной B1Е, тогда по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах CE пер­пен­ди­ку­ляр­на на­клон­ной B1Е. Далее: ги­по­те­ну­за вдвое боль­ше ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30°: B_1C=2CE=10 ко­рень из 3 . Ис­ко­мую вы­со­ту приз­мы на­хо­дим по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка B1ВC: B_1B= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: B_1C в квад­ра­те минус BC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 200 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 507794: 507800 511494 Все

Классификатор стереометрии: Пря­мая тре­уголь­ная приз­ма, Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025