Тип 14 № 511106 
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
Стереометрическая задача. Расстояние между точками, от точки до прямой
i
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O — центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.
Решение. а) Точка O принадлежит отрезку BN, значит, точка P, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SBN. Значит, прямая NP также лежит в плоскости SBN и пересекает прямую SB в точке K. Треугольник SNB равнобедренный, поскольку отрезки SN и BN — медианы одинаковых равносторонних треугольников SAC и BAC. Поэтому SN = BN. В точке O пересекаются медианы основания, значит, 
Опустим перпендикуляр из точки P на сторону SN. Пусть он пересекает SN в точке M. Треугольники SPM и SNO подобны, поэтому 
Значит, 
Следовательно, треугольники NPO и NPM равны и PN — биссектриса угла SNB. В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой. Значит, NK ⊥ BS.
б) Так как BS перпендикулярно NK, то искомое расстояние равно длине отрезка BK. NK является медианой треугольника SNB, поэтому 
Ответ: 2.
Приведем решение а) Ивана Иванова из Владивостока.
Данная треугольная пирамида правильная, поэтому точки B, S, N, O и P лежат в одной плоскости. Значит, прямая PN пересекает ребро BS в некоторой точке K. Рассмотрим треугольник BSO и прямую KN, пересекающую сторону SO этого треугольника в точке P. По теореме Менелая: 
Поскольку BN : NO = 3 (по теореме о точке пересечения медиан), а 
(по условию), заключаем, что 
то есть 
Значит, отрезок NK — медиана треугольника BNS. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку BN = SN как соответственные медианы равных треугольников. Следовательно, отрезок NK является также и высотой треугольника BNS. Точки N, P и K лежат на одной прямой, а потому прямая NP перпендикулярна прямой BS.
Приведем еще одно решение пункта а).
Пусть a — длина ребра пирамиды. Тогда
Точка O принадлежит отрезку BN, значит, точка P, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SBN. Поэтому прямая NP также лежит в плоскости SBN и пересекает прямую SB в точке K. Из треугольника NOP получим 
Из треугольника SOB получим 
Тогда в треугольнике KNB
следовательно, 
Тогда угол NKB равен 90°, то есть прямые NP и BS перпендикулярны.
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 2.
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
