Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 510198
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 вы­со­та равна 1, а ребро ос­но­ва­ния равно 2.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды A_1BCC_1B_1 вдвое боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды ACBС_1.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A1 до пря­мой BC1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть объём ис­ход­ной приз­мы равен V. Тогда объём пи­ра­ми­ды С1ABC равен дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , по­сколь­ку у нее такое же ос­но­ва­ние и такая же вы­со­та, как у ис­ход­ной приз­мы. Объём пи­ра­ми­ды A1ABC равен объёму пи­ра­ми­ды С1ABC. Тогда объём че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды A1BCC1B1 равен

V минус дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2V, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

то есть вдвое боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды ACBС1. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те A1H тре­уголь­ни­ка A1BC1. Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку A_1B = BC_1 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та . До­пол­ни­тель­но про­ведём вы­со­ту и ме­ди­а­ну BM. Найдём её длину:

BM = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A_1B в квад­ра­те минус A_1M в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус 1 конец ар­гу­мен­та = 2.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка A1BC равна

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби A_1C_1 умно­жить на BM = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC_1 умно­жить на A_1 H,

от­ку­да по­лу­ча­ем урав­не­ние 2 = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на A_1H. Сле­до­ва­тель­но,

A_1H = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой, Объем тела, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025