Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 689288
i

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки P, K, L  — се­ре­ди­ны ребер АА1, A1D1, B1C1 со­от­вет­ствен­но, точка Q  — центр грани CC1D1D. От­ре­зок MN c кон­ца­ми на пря­мых AD и KL со­от­вет­ствен­но пе­ре­се­ка­ет пря­мую PQ и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей.

а)  До­ка­жи­те, что AM : MD  =  5 : 1.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если сто­ро­на куба равна 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть от­ре­зок MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую PQ в точке E. Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда в вы­бран­ной си­сте­ме от­сче­та верны сле­ду­ю­щие ко­ор­ди­на­ты:

P левая круг­лая скоб­ка 0; 0; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

Q левая круг­лая скоб­ка 3; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

M левая круг­лая скоб­ка \lambda; 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

N левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; \mu; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

\overrightarrowPQ = левая круг­лая скоб­ка 3; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

\overrightarrowMN = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус \lambda; \mu; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Из усло­вия пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти от­рез­ка MN и пря­мой PQ по­лу­ча­ем

\overrightarrowPQ умно­жить на \overrightarrowMN = 0 рав­но­силь­но 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус \lambda пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \mu = 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус \lambda плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \mu = 0 рав­но­силь­но \mu = 2 \lambda минус 3.

Кроме того, от­ре­зок MN и пря­мая PQ пе­ре­се­ка­ют­ся, по­это­му \overrightarrowPQ = a умно­жить на \overrightarrowPN плюс b умно­жить на \overrghtarrowPM, где a, b при­над­ле­жит R , от­ку­да

си­сте­ма вы­ра­же­ний \mu = 2 \lambda минус 3, 3 = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a плюс b \lambda, дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = a \mu плюс 0b, 0 = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби b конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний \mu = 2 \lambda минус 3, 3 = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a плюс a \lambda, \mu = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби , a = b конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний \mu = 2 \lambda минус 3, \lambda = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: a конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , \mu = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби , a = b конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: a конец дроби минус 3 минус 3, \lambda = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: a конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , \mu = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби , a = b конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: a конец дроби минус 4, \lambda = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: a конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , \mu = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби , a = b конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , \lambda = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , \mu = 2, b = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец си­сте­мы .

Таким об­ра­зом,

AM : MD = \lambda : левая круг­лая скоб­ка 3 минус \lambda пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 5 : 1.

б)  Из пунк­та а) на­пря­мую сле­ду­ет, что

MN в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус \lambda пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс \mu в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те = 14,

от­ку­да MN = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б)  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 512
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025