Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 510194
i

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ной приз­ма ABCA1B1C1

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α, про­хо­дя­щая через пря­мую AB1 и центр грани ACC1A1, делит объем приз­мы в от­но­ше­нии 2 : 1.

б)  Пусть вы­со­та приз­мы равна 2, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B1 до пря­мой AC1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Центр грани ACC1A1 лежит на пря­мой AC1, по­это­му се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α  — тре­уголь­ник AB1C1. Объем пи­ра­ми­ды AB1C1A1 вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на AA_1 умно­жить на S_A_1B_1C_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби V_ABCA_1B_1C_1.

Зна­чит, объем приз­мы де­лит­ся плос­ко­стью α в от­но­ше­нии 2 : 1. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те B1H тре­уголь­ни­ка AB1C1. Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку B_1A = AC_1 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та . До­пол­ни­тель­но про­ведём вы­со­ту и ме­ди­а­ну AM. Найдём её длину:

AM = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: B_1A в квад­ра­те минус B_1M в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка B1AC1 равна

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби B_1C_1 умно­жить на AM = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC_1 умно­жить на B_1H,

от­ку­да по­лу­ча­ем урав­не­ние

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та умно­жить на B_1H.

Сле­до­ва­тель­но,

B_1H = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 95 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 95 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой, Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025