Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507460
i

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что точки D1, E и F1 лежат на сфере с цен­тром в точке B.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой F1E1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  До­ста­точ­но до­ка­зать, что равны между собой от­рез­ки BD1, BE и BF1. Дей­стви­тель­но, BE = 2 как боль­шая диа­го­наль пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 1. Далее, так как мень­шая диа­го­наль пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 1 равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , то

BD_1 в квад­ра­те = BD в квад­ра­те плюс DD_1 в квад­ра­те = 3 плюс 1 = 4,

от­ку­да BD_1 = 2. Со­вер­шен­но ана­ло­гич­но BF_1 = 2. По­это­му точки D1, E, F1 лежат на сфере ра­ди­у­са 2 с цен­тром в точке B. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Про­ве­дем от­рез­ки BF и BF1, тогда от­ре­зок BF пер­пен­ди­ку­ля­рен ребру BC, по­сколь­ку \angle CBA = 120 гра­ду­сов, а \angle ABF = 30 гра­ду­сов. От­ре­зок BF  — про­ек­ция от­рез­ка BF1 на плос­кость ос­но­ва­ния. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок BF1 пер­пен­ди­ку­ля­рен ребру E1F1. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое рас­сто­я­ние  — длина от­рез­ка BF1.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник BFF1. Он пря­мо­уголь­ный, BF = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та и FF_1 = 1. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим: BF_1 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс 1 конец ар­гу­мен­та = 2.

 

Ответ: б)  2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой, Пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025