СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517460

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Пря­мые и пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми и если

Решение.

а) Спроектируем наклонную на плоскость получим проекцию По теореме о трех перпендикулярах из перпендикулярности и следует перпендикулярность и Таким образом, в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, поэтому он является квадратом. Следовательно,

б) Пусть — середина тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки до прямой поскольку прямая перпендикулярна Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника проведённой к гипотенузе:

 

Ответ:б)

 

 

Приведем второй способ решения для первого пункта.

Если то скалярное произведение векторов и будет равно 0. Введем систему координат.

Пусть

 

тогда

получим координаты векторов и По условию а значит, что это возможно, когда то есть при или однако, ввиду того, что отрицательной длина быть не может, имеем тогда что и требовалось доказать.


Аналоги к заданию № 517460: 517467 Все

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 401 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Метод координат, Перпендикулярность прямых, Прямая треугольная призма, Расстояние между скрещивающимися прямыми, Теорема о трёх перпендикулярах