Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 517460

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.

а) Докажите, что AA1 = AC.

б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 6, BC = 3.

Спрятать решение

Решение.

а) Спроецируем наклонную AB_1 на плоскость CAA_1, ее проекцией является прямая AC_1. Так как CA_1\perp AB_1, по теореме о трех перпендикулярах, следует, что CA_1\perp AC_1. Таким образом, в прямоугольнике ACC_1A_1 диагонали перпендикулярны, поэтому он является квадратом, следовательно, AA_1=AC.

б) Из п а), следует, что A_1C\perp AB_1C_1 и пересекается с ней в середине AC_1. Пусть M — середина AC_1, тогда искомое расстояние равно расстоянию между проекциями прямых на плоскость AB_1C_1, то есть расстоянию от точки M до прямой AB_1. Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника AB_1C_1, проведённой к гипотенузе:

d левая круглая скобка M, AB_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: AC_1 умножить на B_1C_1, знаменатель: 2AB_1 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2AC умножить на BC, знаменатель: 2 корень из 2AC в квадрате плюс BC в квадрате конец дроби = корень из 2.

 

Ответ:б)  корень из 2.

 

Приведем другой способ решения для п. а).

Если CA_1\bot AB_1, то скалярное произведение векторов \overrightarrowCA_1 умножить на \overrightarrowAB_1=0. Введем систему координат с началом в точке C. Пусть CA=C_1A_1=a, CC_1=AA_1=BB_1=b, CB=C_1B_1=c, тогда C левая круглая скобка 0;0;0 правая круглая скобка , A левая круглая скобка 0;a;0 правая круглая скобка , A_1 левая круглая скобка 0;a;b правая круглая скобка , B_1 левая круглая скобка c;0;b правая круглая скобка , получим координаты векторов \overrightarrowCA_1 левая круглая скобка 0;a;b правая круглая скобка и \overrightarrowAB_1 левая круглая скобка c; минус a;b правая круглая скобка . По условию \overrightarrowCA_1 умножить на \overrightarrowAB_1=0, а значит, что c умножить на 0 плюс левая круглая скобка минус a правая круглая скобка умножить на a плюс b умножить на b=0, это возможно, когда a в квадрате =b в квадрате , то есть при a=b или a= минус b, однако, ввиду того, как введена система координат a и b имеют одинаковые знаки, значит, a=b, тогда CA=AA_1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 517460: 517467 Все

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 401 (C часть).