PDF-версии: 
В правильной треугольной призме сторона AB основания равна 2, точка M — середина ребра CC1.
а) Докажите, что сечение A1MB — равнобедренный треугольник.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 6.
Решение. а) Треугольники A1C1M равны по двум катетам, следовательно,
В треугольнике A1MB две стороны равны, то есть он равнобедренный по определению.
б) Пусть точка O — середина стороны A1B, а также 
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике A1B1B:
откуда 
Найдем высоту треугольника A1BM: в равнобедренном треугольнике она совпадает с медианой. Длину отрезка MO выразим по теореме Пифагора для треугольников A1MO и A1C1M:
По формуле площади треугольника 
откуда
Таким образом, высота призмы 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Найдем высоту треугольника A1BM: в равнобедренном треугольнике она совпадает с медианой. Длину отрезка MO выразим по теореме Пифагора для треугольников A1MO и A1C1M:
Подставляя координаты точки B, находим:
то есть 
Нормаль этой плоскости — вектор 
к плоскости α перпендикулярна вектору 
Подставляя координаты точек M и К в уравнение 
плоскости α и записывая условие перпендикулярности нормалей 
в координатах, получаем систему:
откуда
тогда в этой системе верны координаты:
Тогда уравнение плоскости α имеет вид 
Подставим в это уравнение координаты точки O, получим:
значит, и точка D принадлежит плоскости α.
—
Следовательно, площадь трапеции равна
В треугольнике ALM медиана AH является также и биссектрисой, а потому и высотой. Прямая AH перпендикулярна двум пересекающимся прямым ML и KH плоскости α, поэтому эта прямая перпендикулярна всей плоскости. А потому и прямая AC, содержащая прямую AH, ей перпендикулярна.
Из условия следует, что 
а потому 
Следовательно, 
как высота равностороннего треугольника. Треугольники AKH и ASO подобны по двум углам, обозначим k коэффициент их подобия равен. Тогда
Далее, 
Итак, зная объем пирамиды, получаем:
то есть 
откуда 
Следовательно, 
как высота равностороннего треугольника. Треугольники AKH и ASO подобны по двум углам, обозначим k коэффициент их подобия. Тогда
Далее, 
Зная объем пирамиды, получаем:
то есть 
Пусть также 
и 
—
а потому 
и 
Из прямоугольных треугольников 
LKB и NMB1 соответственно получаем:
тогда в трапеции KLMN равны высоты:
Значит, эти треугольники подобны, отрезок PL параллелен ребру DB, 
Аналогично получаем из треугольников ANM и ADB, что отрезок MN параллелен ребру DB и равен 2. Тогда отрезки ML и NP параллельны. Кроме того, эти отрезки равны как соответственные элементы равных треугольников NDP и MBL. Найдем их длины по теореме косинусов:
и 
Заметим далее, что углы ACS и BAS равны, а также 
из условия. Следовательно, треугольники ASK и CSM равны, а потому равны и отрезки SK и SM. Таким образом, искомое сечение — треугольник SKM — является равнобедренным по определению.
Тогда по теореме Пифагора для треугольников MKA1 и C1KB1 соответственно получаем:
то есть
и 
тогда 
и 
и 
Из равных по двум катетам прямоугольных треугольников BB1K и BB1L по теореме Пифагора получаем:
В прямоугольном треугольнике длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы:
По теореме Пифагора из треугольников BMB1 и PBB1 получаем:
поэтому четырехугольник ABCD — квадрат по определению.
Из пункта а) известно, что 
Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Тогда в выбранной системе отсчета верны следующие координаты:
поскольку она проходит через начало координат. Подставляя координаты точек С и O, находим:
находим нормаль к плоскости BOC: 
