В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что A1M = 2AM, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB1A1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 20.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что AM = 5MA1, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 12.
а) Заметим, что отрезок KC1 является медианой правильного треугольника A1B1C1, а потому является и высотой этого треугольника. Призма ABCA1B1C1 — прямая, поэтому ее боковые ребра являются высотами призмы. Следовательно, отрезок KC1 перпендикулярен ребру AA1. Таким образом, плоскость MKC1 перпендикулярна плоскости ABB1A1.
б) В прямоугольном треугольнике MA1K по теореме Пифагора получаем:
Высота KC1 в правильном треугольнике A1B1C1 
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Пусть AA1 = a, AB = b. Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Плоскость AMB совпадает с плоскостью AA1B. Найдем уравнение этой плоскости. Она проходит через ось аппликат, а потому уравнение следует искать в виде 
Подставляя координаты точки B, находим:
Значит, уравнение плоскости имеет вид 
то есть 
Нормаль этой плоскости — вектор 
Плоскость α перпендикулярна к плоскости AA1B, а потому нормаль 
к плоскости α перпендикулярна вектору 
Подставляя координаты точек M и К в уравнение 
плоскости α и записывая условие перпендикулярности нормалей 
в координатах, получаем систему:
Значит, уравнение плоскости α имеет вид
то есть 
Координаты точки C1 удовлетворяют найденному уравнению:
а значит, точка C1 лежит в плоскости α.
б) По условию a = b = 12. Треугольник C1KM — искомое сечение. В выбранной системе координат находим:
Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля их векторного произведения. Последовательно получаем:
Модуль этого произведения равен
а искомая площадь равна 
Ответ:
