а)  Про­ве­дем от­ре­зок BH  — вы­со­ту тре­уголь­ни­ка SBC. Тре­уголь­ни­ки SBC и SDC равны, по­это­му от­ре­зок DH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка SDC. Тогда плос­кость BHD по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SC. Кроме того, точка O лежит в этой плос­ко­сти, сле­до­ва­тель­но, плос­кость BHD сов­па­да­ет с плос­ко­стью α.

б)  Вы­ра­зим пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BHD:

Пря­мая OH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SC, по­сколь­ку лежит в плос­ко­сти BDH. Тогда

от­ку­да

По свой­ству пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­ку­да

От­ре­зок SH равен Зна­чит, ис­ко­мая плос­ко­сти делит ребро SC в от­но­ше­нии

Ответ: б)  8 : 1.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та а) Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть SO  =  a, тогда в этой си­сте­ме верны ко­ор­ди­на­ты:

Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SC, по­это­му век­тор нор­ма­ли к этой плос­ко­сти сов­па­да­ет с век­то­ром Тогда урав­не­ние плос­ко­сти α имеет вид Под­ста­вим в это урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты точки O, по­лу­чим:

Сле­до­ва­тель­но, плос­кость про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, то есть точку B. Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки D: зна­чит, и точка D при­над­ле­жит плос­ко­сти α.