PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Острый угол B прямоугольного треугольника равен 66°. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 9, BC = 3, BB1 = 8.
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую и последнюю игры.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график
— производной функции f (x), определенной на интервале (−9; 2). В какой точке отрезка [−8; −4] функция f (x) принимает наибольшее значение?
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону 
где 
— начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.
Первый садовый насос перекачивает 8 литров воды за 2 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 36 литров воды?
На рисунке изображён график функции вида
Найдите значение f(16).
Найдите точку максимума функции 
a) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN — квадрат, и AK : KC = 3 : 7.
а) Докажите, что 
б) Найдите объём пирамиды CKLMN, если объём тетраэдра ABCD равен 100.
Решите неравенство 
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что 
б) Найдите MN, если 
а радиус малой окружности равен 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
У Пети есть монеты номиналом 1, 2, 5 и 10 рублей. Каждого вида монет у него по 100 штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит.
а) Может ли Петя выбрать дома 16 монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более 100 рублей?
б) Может ли Петя выбрать дома 5 монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более 25 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более 100 рублей?
:
неотрицательна, функция на этом отрезке возрастает. Следовательно, наибольшее значение функции достигается на правой границе отрезка, т. е. в точке −4.
при заданных значениях параметров 
мг и 
мин:
мин.
откуда 
Значит, 
Следовательно,
тогда 
при помощи тригонометрической окружности. Подходят: 
б) 
откуда 
где отрезок KH1 — высота тетраэдра CKMN, а отрезок AH — высота тетраэдра ABCD. Выразим площадь треугольника CMN через площадь треугольника BCD:
тогда
раз. Заполним таблицу.
получаем:
Приравнивая значения S, находим:
по теореме об угле между касательной и хордой. Аналогично 
значит, 
откуда следует, что хорды AB и MN параллельны. Следовательно, треугольники LAK и CMK и треугольники LBK и CNK подобны. Таким образом,
Что и требовалось доказать.
и 
тогда 
Точка O1 — центр малой окружности, значит, радиус O1C перпендикулярен хорде MN. Находим: 
откуда получаем уравнение:
откуда 
Положим CN = 4x, тогда по теореме о касательной и секущей: 
следовательно, 
В треугольнике NCK известны все стороны, применим теорему косинусов: 
по теореме об угле между касательной и хордой. Значит, 
Корни уравнения 
и 
совпадают при 
или 
руб.
руб.,
Тогда Петя отдаст a монет по 10 рублей, и, если 
то отдаст монету 5 рублей и наберёт остаток монетами из набора 2, 2 и 1 рубль. А иначе сразу наберёт b монетами из этого набора.