Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 548817

К окружности с диаметром AB = 10 проведена касательная BC так что BC=5. Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.

а) Докажите, что BD в квадрате =CD умножить на BE.

б) Найдите площадь треугольника FBE.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что \angle BDA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , поскольку этот угол опирается на диаметр AB. Тогда BD — высота прямоугольного треугольника ABC. По свойству высоты получаем, что BD= корень из CD умножить на AD, тогда BD в квадрате =CD умножить на AD. Треугольники EOB и DOA равны по двум сторонам и углу между ними, значит, EB = AD, откуда BD в квадрате =CD умножить на AD=CD умножить на BE.

б) Выразим площадь треугольника FBE:

S_FBE=S_OBF плюс S_OBE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OB умножить на BF плюс S_AOD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OB умножить на BF плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_ABD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OB умножить на BF плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AD умножить на BD.

Вычислим длины отрезков:

BD= дробь: числитель: 2S_ABC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 10 умножить на 5, знаменатель: корень из 100 плюс 25 конец дроби =2 корень из 5,

AD= корень из AB в квадрате минус BD в квадрате = корень из 100 минус 20=4 корень из 5,

CD=AC минус AD= корень из AB в квадрате плюс BC в квадрате минус 4 корень из 5= корень из 125 минус 4 корень из 5= корень из 5.

Применим теорему Менелая для треугольника ABC и прямой ODF:

 дробь: числитель: BO, знаменатель: OA конец дроби умножить на дробь: числитель: AD, знаменатель: DC конец дроби умножить на дробь: числитель: CF, знаменатель: FB конец дроби =1,

откуда BF=4CF. Таким образом, BC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби BF=5,BF= дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби .

Следовательно,

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OB умножить на BF плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AD умножить на BD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 умножить на дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 4 корень из 5 умножить на 2 корень из 5= дробь: числитель: 80, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ: б)  дробь: числитель: 80, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 549116: 548817 Все

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервная волна. Вариант 2, Задания 16 ЕГЭ–2020