PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.
а) Докажите, что AE параллельно BD.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.
Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN.
а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.
б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML.
В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С, причем СМ = ВС и CN = AC.
а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.
б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС = 8.
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC1 : C1B = 8 : 3, BA1 : A1C = 1 : 2, CB1 : B1A = 3 : 1. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в
а) Докажите, что ADA1B1 — параллелограмм.
б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 28, BC = 18.
На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём АC1 : С1B = 21 : 10, ВА1 : A1C = 2 : 3, АВ1 : В1С = 2 : 5. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.
а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.
б) Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 63, ВС = 25.
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 5 : 4 и A1C1 = 4.
В треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 3 : 2 и A1C1 = 2.
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 4 : 3 и A1C1 = 6.
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если 
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника АВС вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы АВ, пересекает катет ВС в точке М.
а) Докажите, 
б) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 20 и 
На боковой стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.
а) Докажите, что 
б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что 
причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 10. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
На боковой стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.
а) Докажите, что
б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 15. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A1, биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1, биссектриса угла C пересекает описанную окружность в точке C1.
a) Докажите, что угол A1BB1 = 45°.
б) Известно, что 
Найдите B1C1.
К окружности с диаметром AB = 10 проведена касательная BC так что 
Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника FBE.
Пусть AC = BC = x, заметим, что CE : CB = 15 : 8, следовательно, 
По теореме Пифагора для треугольника ACE
то есть ALM — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит,
Имеем: 
следовательно, треугольники 
и 
подобны по второму признаку, откуда 
и 
Но по условию 
поэтому отрезки 
и 
равны и параллельны, а значит, 
— параллелограмм по признаку параллелограмма.
а тогда 
По теореме Пифагора в треугольнике AQC имеем: 
По теореме Менелая 
Тогда 
и по теореме Пифагора для треугольника DQC находим 
параллелен 
Тогда по обобщенной теореме Фалеса, примененной к отрезкам 
и параллельным прямым 
получаем: 
Пусть 
тогда из полученного соотношения находим, что 
Снова применим обобщенную теорему Фалеса — для отрезков 
и параллельных прямых
Получим: 
Значит, точка D делит отрезок BB1 так же, как точка А1 делит ВС. По теореме, обратной обобщенной теореме Фалеса, из этого следует параллельность прямых DA1 и B1C, а также подобие треугольников BDA1 и BB1C.
Но по условию 
следовательно, 
Таким образом, противоположные стороны 
и 
Четырехугольник 
По теореме Фалеса для отрезков 
получаем: 
откуда 
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике 
находим 
По теореме Пифагора в треугольнике DQC вычисляем 
откуда 
то есть противоположные стороны 
прямоугольный с гипотенузой 
и катетом 
а потому 
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, поэтому 
имеем:
Получаем:
C1A1 — медиана в прямоугольном треугольнике BC1C, поэтому
В треугольнике ABC медиана AA1 является высотой, значит, треугольник ABC является равнобедренным и AB = AC.
Так как C1A1 — медиана в прямоугольном треугольнике BC1C, то 
Четырехугольник MHNA вписан в окружность с диаметром AH, тогда по теореме синусов для треугольника MNA имеем: 
Подставляя, получаем:
Тогда 
Тогда 
Из доказанного в пункте a) имеем, что 
Треугольник ANC равнобедренный, поэтому 
и 
Треугольник CLN также равнобедренный, поэтому
Вычислим 
как внешний угол в треугольнике LMC:
тогда
поэтому 
поэтому дуга AL равна 90°. На эту дугу опирается центральный угол ANL, тогда 
Углы ANL и MNB равны как вертикальные, таким образом, 
тогда треугольники ABC и MNB подобны по двум углам. Следовательно, 
что и требовалось доказать.
тогда 
Следовательно,
поэтому отрезок BC является средней линией треугольника AED. Заметим, что 
откуда 
Таким образом, точка K лежит на средней линии трапеции. Тогда K — середина CD. Из подобия прямоугольных треугольников DH1E и KH2E, где DH1 и KH2 — перпендикуляры к AB, имеем: 
Следовательно,
Таким образом, точка K лежит на средней линии трапеции. Тогда K — середина CD. Из подобия прямоугольных треугольников DH1E и KH2E, где DH1 и KH2 — перпендикуляры к AB имеем: 
поскольку этот угол опирается на диаметр AB. Тогда BD — высота прямоугольного треугольника ABC. По свойству высоты получаем, что 
тогда 
Треугольники EOB и DOA равны по двум сторонам и углу между ними, значит, EB = AD, откуда 
Таким образом, 
Заметим, что 
тогда 
Пусть 
Это центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол AOD, тогда:
