Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 15, KL = 6, LB = 5.
a) Расстояние от центра окружности до хорд одинаковой длины равны. Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB, BC, CD и AD. Значит, она лежит на биссектрисе каждого из углов трапеции.
б) Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда 
UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Значит,
Пусть BH — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем:
Ответ: б) 24.
Приведем решение пункта б) Валентина Евстафьева (Санкт-Петербург).
В пункте а) доказано, что АО и ВО — биссектрисы углов А и В. Сумма углов А и В равна 180°. Следовательно, полусумма этих углов равна 90°, а потому треугольник ВОА — прямоугольный. Отрезок OV является высотой этого треугольника, проведенной к гипотенузе. Значит, 
Точка V является основанием перпендикуляра, проведенного из центра окружности к хорде, поэтому V — середина отрезка KL. Следовательно, AV = 18, VB = 8, OV = 12. При этом OV — половина искомой высоты. Таким образом, высота трапеции равна 24.