СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 520786

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Решение.

а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стягиваемые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.

б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов

Треугольник ABC равнобедренный,поэтому .

Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому . Значит,

3α.

Таким образом, по теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем:

.

 

Приведем другое решение пункта б)

Заметим, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции. Проведем две высоты DH — из вершины D и EF — через центр окружности. Обозначим ED = x, OE = y. Тогда из треугольника EOD по теореме Пифагора имеем а из треугольника BOF: Тогда высота трапеции а HC = 6 – x. Напишем теорему Пифагора для треугольника DHC:

 

Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.

 

Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 9.

 

Ответ: б) .


Аналоги к заданию № 520848: 520786 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 401 (C часть)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2018
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Кира Тимонина 17.12.2018 00:19

Не рассматривается вариант того, что четырехугольник - ромб, хотя условие такого варианта не исключает.

Александр Иванов

Из всех ромбов окружность можно описать только около квадрата, но это противоречит числовым данным

Павел Черных 05.04.2020 02:05

У меня другое решение пункта б).

Из пункта а) мы поняли,что четырёхугольник ABCD-это равнобедренная трапеция.

Б) По теореме синусов BC/sinBAC=2R,следовательно sinBAC=BC/2R=12/16=3/4.

По основному тождеству тригонометрии.

sin^2 x+cos^2 x=1, cos^2 x=7/16, cos x=√7/4

По теореме косинусов.

BA^2=BC^2+AC^2-2×BC×AC×cosBCA.

144=144+BC^2-24ACcosBCA.

AC=6√7

По теореме Птолемея.

AC×DB=BA×CD+BC×AD.

36×7=12×12+12×AD.

AD=9