Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 520786

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Спрятать решение

Решение.

а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стягиваемые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.

б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов

 синус альфа = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2R конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому \angleBAD=\angleBAC плюс \angleCAD=2 альфа .

Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому \angleCDA=\angleBAD=2 альфа . Значит,

\angleACD=180 градусов минус \angleCAD минус \angleCDA=180 градусов минус 3α.

Таким образом, по теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем:

 дробь: числитель: AD, знаменатель: синус левая круглая скобка 180 градусов минус 3 альфа правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: синус альфа конец дроби равносильно AD= дробь: числитель: синус 3 альфа , знаменатель: синус альфа конец дроби умножить на AB= левая круглая скобка 3 минус 4 синус в квадрате альфа правая круглая скобка умножить на AB=9.

 

Приведем другое решение пункта б)

Заметим, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции. Проведем две высоты DH — из вершины D и EF — через центр окружности. Обозначим ED = x, OE = y. Тогда из треугольника EOD по теореме Пифагора имеем x в квадрате плюс y в квадрате =64, а из треугольника BOF: OF=2 корень из 7. Тогда высота трапеции DH=EF=y плюс 2 корень из 7, а HC = 6 – x. Напишем теорему Пифагора для треугольника DHC:

 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 2 корень из 7 правая круглая скобка в квадрате =12 в квадрате равносильно 36 минус 12x плюс x в квадрате плюс y в квадрате плюс 4y корень из 7 плюс 28=144 равносильно

 равносильно 4y корень из 7=16 плюс 12x равносильно y= дробь: числитель: 4 плюс 3x, знаменатель: корень из 7 конец дроби .

Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.

x в квадрате плюс дробь: числитель: левая круглая скобка 4 плюс 3x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 7 конец дроби =64 равносильно 2x в квадрате плюс 3x минус 54=0 равносильно левая квадратная скобка \beginarraylx= минус 6, x=\dfrac92.\endarray.

Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 9.

 

Ответ: б) 9.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 520848: 520786 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 401 (C часть)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2018
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Кира Тимонина 17.12.2018 00:19

Не рассматривается вариант того, что четырехугольник - ромб, хотя условие такого варианта не исключает.

Александр Иванов

Из всех ромбов окружность можно описать только около квадрата, но это противоречит числовым данным

Павел Черных 05.04.2020 02:05

У меня другое решение пункта б).

Из пункта а) мы поняли,что четырёхугольник ABCD-это равнобедренная трапеция.

Б) По теореме синусов BC/sinBAC=2R,следовательно sinBAC=BC/2R=12/16=3/4.

По основному тождеству тригонометрии.

sin^2 x+cos^2 x=1, cos^2 x=7/16, cos x=√7/4

По теореме косинусов.

BA^2=BC^2+AC^2-2×BC×AC×cosBCA.

144=144+BC^2-24ACcosBCA.

AC=6√7

По теореме Птолемея.

AC×DB=BA×CD+BC×AD.

36×7=12×12+12×AD.

AD=9