СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 520848

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­са R = 10. Из­вест­но, что AB = BC = CD = 6.

а) До­ка­жи­те,что пря­мые BC и AD па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те AD.

Решение.

а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стянутые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.

б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов для треугольника ABC имеем

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому . Значит, Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому Значит,

По теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем:

откуда, используя формулу синуса тройного угла, получаем:

 

Приведем другое решение пункта б)

Заметим, что центр описанной окружности лежит вне трапеции. Проведем две высоту трапеции BH — из вершины B и параллельную ей прямую EF проходящую через центр окружности. Обозначим AE = x, OE = y. Тогда из треугольника AOE по теореме Пифагора имеем а из треугольника BOF: Тогда высота трапеции а AH = x – 3. Напишем теорему Пифагора для треугольника ABH:

 

Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.

 

Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 15,84.

 

Приведем решение пункта б), присланное читателем сайта.

Так как AB = BC = CD, эти хорды стягивают равные дуги. Значит, По теореме синусов для треугольника ABC имеем: откуда

 

Опустим высоту BH на основание AD. Тогда

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 520848: 520786 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 402 (C часть)., За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2018
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и четырёхугольники