PDF-версии: 
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиусом 8. Известно, что
а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Решение. а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стягиваемые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.
б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому 
Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому 
Значит,
3α.
Таким образом, по теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем:
Приведем другое решение пункта б)
Заметим, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции. Действительно, если хорды были бы равны радиусу, то центр окружности лежал бы на стороне, как в случае правильного шестиугольника, но хорды больше, а потому центр окружности лежит внутри трапеции. (Другое рассуждение: угол при вершине в треугольнике со сторонами 8, 8 и 12 больше 60°, поэтому сумма центральных углов больше 180°).
Проведем две высоты: DH — из вершины D и EF — через центр окружности. Обозначим ED = x, OE = y. Тогда из треугольника EOD по теореме Пифагора имеем 
а из треугольника BOF: 
Тогда высота трапеции 
а HC = 6 – x. Запишем теорему Пифагора для треугольника DHC:
Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.
Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 9.
Ответ: б) 
Приведём решение пункта б) Павла Черных.
В пункте а) было показано, что четырёхугольник ABCD — равнобедренная трапеция. Из теоремы синусов получаем, что 
Из основного тригонометрического тождества находим:
По теореме косинусов
а потому 
Следовательно, 
По теореме Птолемея 
тогда 
откуда 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
По теореме синусов для треугольника ABC находим: 
откуда
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому 
Значит, 
Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому 
а из треугольника BOF получаем, что 
Тогда высота трапеции 
а 
Следовательно, КО1 — медиана, проведенная к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АО1В.
Его положительным корнем является AH = 0,5, и тогда AD = 8.
откуда получаем 
или 
Следовательно, КО1 — медиана, проведенная к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АО1В.
Значит, хорды окружности AE и AK стягивают равные дуги. Поэтому эти хорды равны.
, поэтому DE = AB = DC.
откуда 
UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Значит,
Точка V является основанием перпендикуляра, проведенного из центра окружности к хорде, поэтому V — середина отрезка KL. Следовательно, AV = 18, VB = 8, OV = 12. При этом OV — половина искомой высоты. Таким образом, высота трапеции равна 24.
UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Тогда 
Тогда 
поскольку является центральным углом, опирающимся на ту же дугу окружности, что и угол BAC. В равнобедренном треугольнике BOC получаем 
а в прямоугольном треугольнике BAH получаем 
Таким образом, 
Значит,
Аналогично треугольник EOC — равнобедренный, в нем 
поэтому 
Треугольники AOD и COD равны по трем сторонам, поэтому 
а значит, точка O лежит на диагонали BD.
тогда 
Углы COM и DCO равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых OM и DC секущей OC. Луч OM — биссектриса угла EOC, поэтому 
Находим:
и C параллелограмма и пересекает продолжение стороны AD в точке E, а продолжение стороны CD в точке K.
как противоположные углы в параллелограмме. Они также являются вписанными углами, поэтому и дуги BE и BK равны. Следовательно, хорды BK и BE равны, поскольку они стягивают равные дуги.
как односторонние углы при параллельных прямых. Следовательно, дуги BK и BE равны 
Тогда дуга KE равна 
Поэтому вписанный 
Тогда по теореме синусов для треугольников ABC и BKE
