Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 510714
i

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 15, а бо­ко­вые ребра равны 16.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MC и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Спро­ек­ти­ру­ем пря­мую MC на плос­кость ABCD, про­ек­ци­ей будет яв­лять­ся пря­мая AC. Диа­го­на­ли квад­ра­та вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му AC\perp BD. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах MC\perp BD.

б)  Пусть точка E  — се­ре­ди­на ребра MD. От­ре­зок BE пе­ре­се­ка­ет плос­кость MAC в точке P. В тре­уголь­ни­ке MBD точка Р яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, сле­до­ва­тель­но, MP : РО  =  2 : 1, где O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. От­ре­зок FG па­рал­ле­лен AC и про­хо­дит через точку P (точка F при­над­ле­жит ребру MA, G  — ребру MC), от­ку­да

 

MF : FA = MG : GC = MP : PO = 2 : 1,

FG= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AC = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на AB, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Четырёхуголь­ник BFEG  — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок BE  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка MBD, зна­чит,

BE= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2BD в квад­ра­те плюс 2MB в квад­ра­те минус MD в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4AB в квад­ра­те плюс MB в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 17.

Пря­мая BD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти MAC, диа­го­на­ли BE и FG четырёхуголь­ни­ка BFEG пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Сле­до­ва­тель­но,

S_BFEG = дробь: чис­ли­тель: BE умно­жить на FG, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 85 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: 85 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .


-------------
Дублирует задание № 501690.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025