Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4.
а) Докажите, что площадь поверхности меньшего шара не меньше, чем 24.
б) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
а) Любое сечение шара плоскостью — это круг, причем радиус этого круга не превосходит радиуса самого шара. Тогда из условия следует, что 
где R — радиус меньшего шара. Тогда площадь его поверхности, равная 
не меньше чем 24. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов.
Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями Отрезок FD — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью α, тогда
—
Отрезок AB — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью β, тогда 
—
Отрезок CF — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α. Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников получаем:
откуда
Площадь сечения большего шара плоскостью α:
Ответ: б) 10.
Приведем решение Дмитрия Сузана.
а) Пусть радиус меньшего шара равен r, радиус большего шара равен R. Площадь сечения шара плоскостью, находящейся на расстоянии где h от центра шара 
равна 
Плоскость α находится от центра шара на расстоянии 
плоскость β находится на расстоянии расстояние r. Из условий имеем:
Умножим (1) на 4, раскроем скобки, получим: 
В левой части стоит площадь поверхности малого шара, в правой части — число, не меньшее 24. Утверждение а) доказано.
б) Сложим (1) и (2), получим: 
В левой части стоит площадь сечения большего шара плоскостью α.
Задачу можно решить иначе.
а) Пусть радиус меньшего шара равен r, радиус большего шара равен R. Площадь сечения шара плоскостью равна
где h — расстояние от центра шара до секущей плоскости, 
Для плоскости
пусть 
тогда для плоскости 
получаем: 
Из условий имеем:
Преобразуем (1), умножив на 4 и раскрыв скобки, получим:
Слева стоит площадь поверхности малого шара, справа — число, не меньшее 24. Утверждение а) доказано.
б) Сложим (1) и (2), получим:
Слева стоит площадь сечения большего шара плоскостью α Задача решена
Добавили такое решение. Спасибо!