Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 17, а вы­со­та равна 7, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что дву­гран­ный угол при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды боль­ше, чем 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те пло­щадь впи­сан­ной сферы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть MH  — вы­со­та пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды MABCD с вер­ши­ной M, тогда тре­уголь­ник AMH  — пря­мо­уголь­ный, MA=17,MH = 7, от­ку­да

AH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MA в квад­ра­те минус MH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

Тре­уголь­ник ABH  — пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, AB=AH ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та . В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та MN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MA в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =13.

За­ме­тим, что угол MNH -- ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла. Его синус равен дробь: чис­ли­тель: MH, зна­ме­на­тель: MN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­это­му \angle MNH боль­ше 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

б)  В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH вы­со­та HN= дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та .

Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке MN. Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

MO:OK=MN:HN рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7 минус r, зна­ме­на­тель: r конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 7 минус r пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та =13 умно­жить на r рав­но­силь­но r= дробь: чис­ли­тель: 26 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та минус 120, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ,

где r  — ра­ди­ус сферы.

Пло­щадь сферы S=4 Пи r в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 480 левая круг­лая скоб­ка 289 минус 52 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка Пи , зна­ме­на­тель: 49 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 480 левая круг­лая скоб­ка 289 минус 52 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка Пи , зна­ме­на­тель: 49 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025