РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 18945801

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2013

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5.

а)  Докажите, что сечение шара плоскостью есть круг.

б)  Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Решение.

а)  Пусть плоскость α  — секущая, точка О  — центр шара. Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость α, пусть точка F  — основание этого перпендикуляра.

Пусть точка X  — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости α. По теореме Пифагора имеем $OX в квадрате = OF в квадрате плюс FX в квадрате .$ Отрезок OX не больше радиуса R шара, поэтому $FX меньше или равно корень из: начало аргумента: R в квадрате минус OF в квадрате конец аргумента ,$ то есть любая точка сечения шара плоскостью α находится от точки F на расстоянии, не большем $корень из: начало аргумента: R в квадрате минус OF в квадрате конец аргумента ,$ следовательно, она принадлежит шару. Это значит, что любая точка сечения шара плоскостью α лежит в круге с центром в точке F.

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару и лежит в плоскости α, а это значит, что сечение шара плоскостью α есть круг с центром в точке F.

б)  Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры сечений  — кругов. Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями α и β дано на рисунке.

Отрезок FD  — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью α, тогда $S_ альфа = Пи умножить на FD в квадрате = 7$   — площадь сечения меньшего шара плоскостью α.

Отрезок AB  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью β, тогда $S_ бета = Пи умножить на AB в квадрате = 5$   — площадь сечения большего шара плоскостью β.

Отрезок CF  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α.

Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников OFC и OFD соответственно получаем:

$OF в квадрате = OC в квадрате минус CF в квадрате = OD в квадрате минус FD в квадрате ,$

откуда

$CF в квадрате = OC в квадрате минус OD в квадрате плюс FD в квадрате = OB в квадрате минус OA в квадрате плюс FD в квадрате = AB в квадрате плюс FD в квадрате .$

Площадь сечения большего шара плоскостью α равна

$S = Пи умножить на CF в квадрате = Пи умножить на AB в квадрате плюс Пи умножить на FD в квадрате = 12.$

Ответ: б)  12.

Примечание.

Приведенное решение не зависит от того, лежат ли плоскости α и β по одну сторону от центра шаров или по разные.

Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84.

а)  Докажите, что сечение шара второй плоскостью является кругом.

б)  Найдите радиус шара.

Решение. а)  Рассмотрим произвольную точку P, принадлежащую второму сечению (не проходящему через центр). Рассмотрим прямую, перпендикулярную данным плоскостям и проходящую через центр шара  — точку O. Пусть эта прямая пересекает второго сечение в точке B. Рассмотрим, наконец, еще точку C, принадлежащую второму сечению и поверхности шара. Заметим, что $BP в квадрате =OP в квадрате минус OB в квадрате меньше или равно OC в квадрате минус OB в квадрате =BC в квадрате .$ Таким образом, $BP меньше или равно BC,$ поэтому точка P принадлежит кругу с центром B и радиусом BC. В обратную сторону: каждая точка круга с центром B, радиусом BC, и лежащего во второй плоскости, принадлежит шару. Таким образом, сечение есть круг.

б)  Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центры сечений. Обозначения даны на рисунке. OA  — радиус шара, тогда S₁  =  π · OA²  — площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр. BC  — радиус меньшего круга, полученного в сечении, тогда S₂  =  π · BC²  — площадь сечения шара второй плоскостью.

Из отношения площадей сечений получаем: $дробь: числитель: BC, знаменатель: OA конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$ OB  — расстояние между плоскостями, равное 2.

В прямоугольном треугольнике OBC: OC²  =  BC² + OB², откуда получаем:

$OA в квадрате = \Big левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби OA \Big правая круглая скобка в квадрате плюс 4,~OA = 5.$

Ответ: 5.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8.

а)  Докажите, что плоскость, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, делит ребро MC в отношении 2 : 1, считая от вершины M.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16.

а)  Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN : NC  =  2 : 1.

а)  Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 20, а боковое ребро AA₁  =  7. Точка M принадлежит ребру A₁D₁ и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D₁.

а)  Докажите, что точки A и C равноудалены от плоскости, проходящей через точки B, D и M.

б)  Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра $AB = 8,$ $AD = 7$ и $AA_1 = 5.$ Точка W принадлежит ребру DD₁ и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D.

а)  Докажите, что любая плоскость, проходящая через вершины A₁ и C, делит параллелепипед на две равновеликие фигуры.

б)  Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C, W и A₁.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)

а)  Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды больше $45 градусов.$

б)  Найдите площадь вписанной сферы.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

10.  

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)

а)  Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды больше, чем $30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

б)  Найдите площадь вписанной сферы.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

11.  

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4.

а)  Докажите, что сечение является равнобедренным остроугольным треугольником.

б)  Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

12.  

Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6.

а)  Докажите, что сечение  — равнобедренный остроугольный треугольник.

б)  Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

13.  

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)

а)  Докажите, что существует сечение пирамиды, проходящее через её вершину и являющееся тупоугольным треугольником.

б)  Найдите площадь вписанной сферы.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

14.  

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ а высота равна $1,$ вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)

а)  Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды равен $30 градусов.$

б)  Найдите площадь этой сферы.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5.

а)  Докажите, что площадь поверхности меньшего шара не меньше, чем 32.

б)  Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Решение. а)  Любое сечение шара плоскостью  — это круг, причем радиус этого круга не превосходит радиуса самого шара. Тогда из условия следует, что $Пи R в квадрате больше или равно 8,$ где R  — радиус меньшего шара. Тогда площадь его поверхности, равная $4 Пи R в квадрате ,$ не меньше чем 32. Что и требовалось доказать.

б)  Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов. Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями α и β дано на рисунке.

Отрезок FD  — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью α, тогда $S_ альфа = Пи умножить на FD в квадрате =8$   — площадь сечения меньшего шара плоскостью α.

Отрезок AB  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью β, тогда $S_ бета = Пи умножить на AB в квадрате =5$   — площадь сечения большего шара плоскостью β.

Отрезок CF  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α.

Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой  AF. Из прямоугольных треугольников получаем:

$OF в квадрате =OC в квадрате минус CF в квадрате =OD в квадрате минус FD в квадрате ,$

откуда

Площадь сечения большего шара плоскостью α:

$S = Пи умножить на CF в квадрате = Пи умножить на AB в квадрате плюс Пи умножить на FD в квадрате = 13.$

Ответ: б)  13.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

16.  

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4.

а)  Докажите, что площадь поверхности меньшего шара не меньше, чем 24.

б)  Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Решение. а)  Любое сечение шара плоскостью  — это круг, причем радиус этого круга не превосходит радиуса самого шара. Тогда из условия следует, что $Пи R в квадрате больше или равно 6,$ где R  — радиус меньшего шара. Тогда площадь его поверхности, равная $4 Пи R в квадрате ,$ не меньше чем 24. Что и требовалось доказать.

б)  Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов.

Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями α и β дано на рисунке. Отрезок FD  — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью  α, тогда $S_ альфа = Пи умножить на FD в квадрате = 6$   — площадь сечения меньшего шара плоскостью α.

Отрезок AB  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью  β, тогда $S_ бета = Пи умножить на AB в квадрате = 4$   — площадь сечения большего шара плоскостью β.

Отрезок CF  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α. Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников получаем:

$OF в квадрате = OC в квадрате минус CF в квадрате = OD в квадрате минус FD в квадрате ,$

откуда

Площадь сечения большего шара плоскостью α:

$S = Пи умножить на CF в квадрате = Пи умножить на AB в квадрате плюс Пи умножить на FD в квадрате =10.$

Ответ: б) 10.

Приведем решение Дмитрия Сузана.

а)  Пусть радиус меньшего шара равен r, радиус большего шара равен R. Площадь сечения шара плоскостью, находящейся на расстоянии где h от центра шара $левая круглая скобка h меньше или равно R правая круглая скобка$ равна $Пи левая круглая скобка R в квадрате минус h в квадрате правая круглая скобка .$ Плоскость α находится от центра шара на расстоянии $h_1,$ плоскость β находится на расстоянии расстояние r. Из условий имеем:

$Пи левая круглая скобка r в квадрате минус h_1 в квадрате правая круглая скобка =6, \quad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

$Пи левая круглая скобка R в квадрате минус r в квадрате правая круглая скобка =4, \quad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Умножим (1) на 4, раскроем скобки, получим: $4 Пи r в квадрате =24 плюс 4 Пи h_1 в квадрате .$ В левой части стоит площадь поверхности малого шара, в правой части  — число, не меньшее 24. Утверждение а) доказано.

б)  Сложим (1) и (2), получим: $Пи левая круглая скобка R в квадрате минус h_1 в квадрате правая круглая скобка =10.$ В левой части стоит площадь сечения большего шара плоскостью α.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510707	24.
2	501730	$дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$
3	510726	б)   $144 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
4	510734	б) $корень из: начало аргумента: 4209 конец аргумента .$
5	510769	б) $64 левая круглая скобка 11 минус 4 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка Пи .$
6	510781	б)  13.
7	510787	б) 10.

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2013

Ключ

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2013