а)  Любое се­че­ние шара плос­ко­стью  — это круг, при­чем ра­ди­ус этого круга не пре­вос­хо­дит ра­ди­у­са са­мо­го шара. Тогда из усло­вия сле­ду­ет, что где R  — ра­ди­ус мень­ше­го шара. Тогда пло­щадь его по­верх­но­сти, рав­ная не мень­ше чем 32. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Рас­смот­рим се­че­ние, про­хо­дя­щее через общий центр шаров и цен­тры кру­гов. Обо­зна­че­ние цен­тра, точки ка­са­ния и точек пе­ре­се­че­ния по­верх­но­стей шаров с плос­ко­стя­ми α и β дано на ри­сун­ке.

От­ре­зок FD  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии мень­ше­го шара плос­ко­стью α, тогда   — пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара плос­ко­стью α.

От­ре­зок AB  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью β, тогда   — пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью β.

От­ре­зок CF  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

Па­рал­лель­ные пря­мые AB и CF пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой  AF. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α:

Ответ: б)  13.